Номер 353, страница 109 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 4.2. Корни уравнения. Глава 4. Уравнения - номер 353, страница 109.

353 Объясните, почему уравнение не имеет корней:

а) $x^2 = -1$;

б) $|x| = -5$;

в) $x^6 + 1 = 0$;

г) $|x| + 10 = 0$.

а) $x^2 = -1$

Квадрат любого действительного числа (положительного, отрицательного или нуля) всегда является неотрицательным числом. Это означает, что для любого действительного числа $x$, выражение $x^2$ будет больше или равно нулю: $x^2 \ge 0$. В данном уравнении левая часть, $x^2$, должна быть равна правой части, $-1$. Так как неотрицательное число не может быть равно отрицательному числу, данное уравнение не имеет решений в множестве действительных чисел.

Ответ: уравнение не имеет корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.

б) $|x| = -5$

Модуль (или абсолютная величина) числа — это расстояние от этого числа до нуля на координатной прямой. Расстояние не может быть отрицательным. Следовательно, модуль любого действительного числа всегда является неотрицательной величиной, то есть $|x| \ge 0$ для любого $x$. В данном уравнении левая часть, $|x|$, должна быть равна $-5$. Поскольку неотрицательная величина не может быть равна отрицательному числу, это уравнение не имеет корней.

Ответ: уравнение не имеет корней, так как модуль любого числа не может быть отрицательным.

в) $x^6 + 1 = 0$

Выражение $x^6$ представляет собой число $x$, возведенное в четную степень. Любое действительное число, возведенное в четную степень, является неотрицательным, то есть $x^6 \ge 0$ для любого $x$. Если к этому неотрицательному значению прибавить 1, то сумма всегда будет положительной и, более того, не меньше 1. То есть, $x^6 + 1 \ge 0 + 1$, что означает $x^6 + 1 \ge 1$. Уравнение утверждает, что это выражение равно 0. Так как значение левой части уравнения никогда не может быть равным нулю (оно всегда больше или равно 1), то уравнение не имеет корней.

Ответ: уравнение не имеет корней, так как сумма неотрицательного числа ($x^6$) и положительного числа (1) всегда положительна и не может равняться нулю.

г) $|x| + 10 = 0$

По определению, модуль числа $|x|$ является неотрицательной величиной, то есть $|x| \ge 0$ для любого $x$. Если к этому неотрицательному значению прибавить положительное число 10, то сумма всегда будет положительной и не меньше 10. То есть, $|x| + 10 \ge 0 + 10$, что означает $|x| + 10 \ge 10$. Уравнение утверждает, что левая часть равна 0. Так как значение выражения $|x| + 10$ всегда больше или равно 10, оно никогда не может быть равно нулю. Следовательно, уравнение не имеет корней.

Ответ: уравнение не имеет корней, так как сумма неотрицательного числа ($|x|$) и положительного числа (10) всегда положительна и не может равняться нулю.