Номер 403, страница 119 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.4. Решение задач с помощью уравнений. Глава 4. Уравнения - номер 403, страница 119.

403 а) Из посёлка в город одновременно выехали мотоциклист со скоростью $40 \text{ км/ч}$ и велосипедист со скоростью $10 \text{ км/ч}$. Определите, какое время затратил на путь велосипедист, если известно, что он прибыл в город на $1,5 \text{ ч}$ позже мотоциклиста.

б) Из туристического лагеря к станции вышел пешеход со скоростью $4 \text{ км/ч}$. Через час вслед за ним выехал велосипедист со скоростью $10 \text{ км/ч}$. Он приехал на станцию на $0,5 \text{ ч}$ раньше пешехода. Определите расстояние от туристического лагеря до станции.

а)

Обозначим искомое время, которое велосипедист затратил на путь, как $t_в$ (в часах), а время мотоциклиста — как $t_м$ (в часах). Расстояние от посёлка до города обозначим как $S$ (в км).

Дано:

• Скорость мотоциклиста $v_м = 40$ км/ч.
• Скорость велосипедиста $v_в = 10$ км/ч.

Поскольку они выехали одновременно и проехали одно и то же расстояние $S$, мы можем записать уравнения для времени и расстояния для каждого:

$S = v_м \cdot t_м = 40t_м$

$S = v_в \cdot t_в = 10t_в$

Так как расстояние одинаково, приравняем правые части уравнений:

$40t_м = 10t_в$

Из условия известно, что велосипедист прибыл на 1,5 часа позже мотоциклиста. Это означает, что время в пути у велосипедиста было на 1,5 часа больше:

$t_в = t_м + 1.5$

Мы получили систему из двух уравнений. Выразим $t_м$ из второго уравнения:

$t_м = t_в - 1.5$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$40(t_в - 1.5) = 10t_в$

Решим полученное уравнение относительно $t_в$:

$40t_в - 60 = 10t_в$

$40t_в - 10t_в = 60$

$30t_в = 60$

$t_в = \frac{60}{30} = 2$

Таким образом, время, которое затратил на путь велосипедист, составляет 2 часа.

Ответ: 2 часа.

б)

Обозначим искомое расстояние от туристического лагеря до станции как $S$ (в км).

Дано:

• Скорость пешехода $v_п = 4$ км/ч.
• Скорость велосипедиста $v_в = 10$ км/ч.

Пусть время движения пешехода — $t_п$ (в часах), а время движения велосипедиста — $t_в$ (в часах). Они прошли одинаковое расстояние $S$.

$S = v_п \cdot t_п = 4t_п$

$S = v_в \cdot t_в = 10t_в$

Следовательно, $4t_п = 10t_в$.

По условию, велосипедист выехал на 1 час позже пешехода и приехал на 0,5 часа раньше. Это означает, что общее время в пути у пешехода было больше, чем у велосипедиста. Разница во времени их движения составляет $1 \text{ час} + 0.5 \text{ часа} = 1.5$ часа.

$t_п = t_в + 1.5$

Подставим это соотношение в уравнение для расстояний:

$4(t_в + 1.5) = 10t_в$

Решим это уравнение, чтобы найти время движения велосипедиста $t_в$:

$4t_в + 6 = 10t_в$

$6 = 10t_в - 4t_в$

$6 = 6t_в$

$t_в = 1$

Велосипедист был в пути 1 час. Теперь найдем расстояние $S$, используя данные для велосипедиста:

$S = v_в \cdot t_в = 10 \text{ км/ч} \cdot 1 \text{ ч} = 10 \text{ км}$

Ответ: 10 км.