Номер 404, страница 119 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.4. Решение задач с помощью уравнений. Глава 4. Уравнения - номер 404, страница 119.

404 a) На одном и том же расстоянии маленький обруч делает 15 оборотов, а большой — 9 оборотов. Длина окружности маленького обруча на 2 м меньше длины окружности большого обруча. Определите длину окружности каждого обруча.

б) Длина окружности маленького обруча 3 м, а большого 4 м. На одном и том же расстоянии маленький обруч делает на 10 оборотов больше, чем большой. Определите это расстояние.

а)

Пусть $C_м$ — длина окружности маленького обруча (в метрах), а $C_б$ — длина окружности большого обруча (в метрах). Пусть $S$ — расстояние, которое прокатили оба обруча.

Расстояние, которое проходит обруч, равно произведению длины его окружности на количество сделанных оборотов. По условию, маленький обруч сделал 15 оборотов, а большой — 9 оборотов, и они прошли одно и то же расстояние. Следовательно, мы можем составить уравнение:

$S = 15 \times C_м = 9 \times C_б$

Также по условию известно, что длина окружности маленького обруча на 2 м меньше длины окружности большого:

$C_м = C_б - 2$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$ \begin{cases} 15 \cdot C_м = 9 \cdot C_б \\ C_м = C_б - 2 \end{cases} $

Подставим второе уравнение в первое, чтобы выразить всё через одну переменную $C_б$:

$15 \cdot (C_б - 2) = 9 \cdot C_б$

Решим полученное уравнение:

$15 C_б - 30 = 9 C_б$

$15 C_б - 9 C_б = 30$

$6 C_б = 30$

$C_б = \frac{30}{6}$

$C_б = 5$ (м)

Теперь, зная длину окружности большого обруча, найдем длину окружности маленького:

$C_м = C_б - 2 = 5 - 2 = 3$ (м)

Проверим решение: расстояние, пройденное маленьким обручем, составляет $15 \times 3 = 45$ м. Расстояние, пройденное большим обручем, составляет $9 \times 5 = 45$ м. Расстояния равны, что соответствует условию.

Ответ: длина окружности маленького обруча — 3 м, длина окружности большого обруча — 5 м.

б)

Пусть $S$ — искомое расстояние (в метрах). Известно, что длина окружности маленького обруча $C_м = 3$ м, а большого — $C_б = 4$ м.

Количество оборотов ($N$), которое сделает обруч на расстоянии $S$, вычисляется по формуле $N = \frac{S}{C}$, где $C$ — длина окружности.

Количество оборотов маленького обруча: $N_м = \frac{S}{C_м} = \frac{S}{3}$.

Количество оборотов большого обруча: $N_б = \frac{S}{C_б} = \frac{S}{4}$.

По условию, маленький обруч делает на 10 оборотов больше, чем большой. Составим уравнение на основе этого факта:

$N_м = N_б + 10$

$\frac{S}{3} = \frac{S}{4} + 10$

Для решения этого уравнения относительно $S$, приведем дроби к общему знаменателю (12) или умножим обе части уравнения на 12:

$12 \cdot \frac{S}{3} = 12 \cdot \frac{S}{4} + 12 \cdot 10$

$4S = 3S + 120$

Перенесем слагаемое с $S$ в левую часть:

$4S - 3S = 120$

$S = 120$ (м)

Проверим решение: количество оборотов маленького обруча равно $\frac{120}{3} = 40$. Количество оборотов большого обруча равно $\frac{120}{4} = 30$. Разница составляет $40 - 30 = 10$ оборотов, что соответствует условию.

Ответ: расстояние равно 120 м.