Номер 389, страница 117 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.4. Решение задач с помощью уравнений. Глава 4. Уравнения - номер 389, страница 117.

389 a) Велосипедист за 3 ч проезжает то же расстояние, что пешеход проходит за 9 ч. Определите скорость каждого, если известно, что скорость велосипедиста на 8 км/ч больше скорости пешехода.

б) Автобус едет от одного города до другого со скоростью 50 км/ч, а автомобиль — со скоростью 80 км/ч, и весь путь занимает у него на 1,5 ч меньше, чем у автобуса. Определите время, за которое автобус проходит расстояние между городами.

а)

Пусть $v_п$ — скорость пешехода в км/ч, а $v_в$ — скорость велосипедиста в км/ч. Пусть $S$ — искомое расстояние.
Время, за которое пешеход проходит расстояние $S$, составляет $t_п = 9$ ч.
Время, за которое велосипедист проезжает то же расстояние $S$, составляет $t_в = 3$ ч.

Расстояние можно выразить через скорость и время по формуле $S = v \cdot t$.
Для пешехода: $S = v_п \cdot 9$.
Для велосипедиста: $S = v_в \cdot 3$.
Поскольку расстояние одинаково, мы можем приравнять эти два выражения:
$9 \cdot v_п = 3 \cdot v_в$
Разделим обе части уравнения на 3, чтобы упростить его:
$3 \cdot v_п = v_в$

Из условия задачи также известно, что скорость велосипедиста на 8 км/ч больше скорости пешехода. Это можно записать в виде уравнения:
$v_в = v_п + 8$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными. Подставим выражение для $v_в$ из первого уравнения во второе:
$3 \cdot v_п = v_п + 8$
Теперь решим это уравнение относительно $v_п$:
$3v_п - v_п = 8$
$2v_п = 8$
$v_п = \frac{8}{2} = 4$ км/ч.

Мы нашли скорость пешехода. Теперь найдем скорость велосипедиста, используя одно из уравнений, например, $v_в = 3 \cdot v_п$:
$v_в = 3 \cdot 4 = 12$ км/ч.

Проверим: скорость велосипедиста (12 км/ч) действительно на 8 км/ч больше скорости пешехода (4 км/ч), и расстояние $12 \text{ км/ч} \cdot 3 \text{ ч} = 36$ км равно расстоянию $4 \text{ км/ч} \cdot 9 \text{ ч} = 36$ км.

Ответ: скорость пешехода — 4 км/ч, скорость велосипедиста — 12 км/ч.

б)

Пусть $t_а$ — время, которое автобус тратит на путь между городами, в часах. Это и есть искомая величина.
Скорость автобуса $v_а = 50$ км/ч.
Скорость автомобиля $v_м = 80$ км/ч.

Согласно условию, автомобиль тратит на тот же путь на 1,5 часа меньше. Значит, время в пути для автомобиля составляет $t_м = t_а - 1,5$ ч.

Расстояние $S$ между городами одинаково для обоих транспортных средств.
Расстояние, которое проезжает автобус, равно $S = v_а \cdot t_а = 50 \cdot t_а$.
Расстояние, которое проезжает автомобиль, равно $S = v_м \cdot t_м = 80 \cdot (t_а - 1,5)$.

Поскольку расстояния равны, приравняем правые части уравнений:
$50 \cdot t_а = 80 \cdot (t_а - 1,5)$
Раскроем скобки в правой части:
$50t_а = 80t_а - 80 \cdot 1,5$
$50t_а = 80t_а - 120$
Перенесем члены с $t_а$ в одну сторону, а числовые значения в другую:
$120 = 80t_а - 50t_а$
$120 = 30t_а$
Теперь найдем $t_а$:
$t_а = \frac{120}{30} = 4$ ч.

Ответ: время, за которое автобус проходит расстояние между городами, составляет 4 часа.