Номер 384, страница 116 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

4.4. Решение задач с помощью уравнений. Глава 4. Уравнения - номер 384, страница 116.

Решите задачу арифметическим способом, а затем алгебраическим. В каждом случае оцените, какой из них для вас удобнее (384–387).

384 а) На дорогу от дома до работы и обратно у Андрея уходит 90 мин. Обратный путь занимает у него на 10 мин больше, чем путь на работу. Сколько минут Андрей добирается до работы и сколько минут он едет домой?

б) На выборах в городскую администрацию за двух кандидатов проголосовало 600 человек. Один из них получил на 120 голосов больше, чем другой. Сколько голосов получил каждый?

а)

Арифметический способ:

1. Общее время на дорогу туда и обратно составляет 90 минут. Мы знаем, что обратный путь на 10 минут длиннее. Если мы вычтем эту разницу из общего времени, мы получим время, которое было бы затрачено, если бы оба пути были равны по времени (равны более короткому пути, то есть пути на работу): $90 - 10 = 80$ минут.

2. Полученные 80 минут — это удвоенное время пути на работу. Чтобы найти время на дорогу до работы, разделим это значение на 2: $80 / 2 = 40$ минут.

3. Теперь найдем время на обратный путь, которое на 10 минут больше: $40 + 10 = 50$ минут.

Проверим: $40 + 50 = 90$ минут, что соответствует условию задачи.

Ответ: 40 минут Андрей добирается до работы, 50 минут он едет домой.

Алгебраический способ:

Пусть $x$ минут – время, которое Андрей тратит на дорогу до работы. Тогда на обратный путь он тратит $(x + 10)$ минут. Зная, что общее время в пути составляет 90 минут, составим и решим уравнение:

$x + (x + 10) = 90$

$2x + 10 = 90$

$2x = 90 - 10$

$2x = 80$

$x = 80 / 2$

$x = 40$

Таким образом, время на дорогу до работы составляет 40 минут. Тогда время на обратный путь: $40 + 10 = 50$ минут.

Ответ: 40 минут Андрей добирается до работы, 50 минут он едет домой.

Оценка: Для данной задачи оба способа решения достаточно просты. Однако алгебраический способ может показаться удобнее, поскольку он позволяет формализовать задачу и решить ее с помощью стандартного алгоритма решения линейных уравнений, что исключает возможность ошибки в логических рассуждениях.

б)

Арифметический способ:

1. Всего проголосовало 600 человек. Разница в голосах между кандидатами составляет 120. Если мы вычтем эту разницу из общего числа голосов, мы получим количество голосов, которое было бы, если бы оба кандидата набрали поровну (по количеству голосов проигравшего): $600 - 120 = 480$ голосов.

2. Это "уравненное" количество в 480 голосов приходится на двух кандидатов. Чтобы найти, сколько голосов получил кандидат с меньшим результатом, разделим 480 на 2: $480 / 2 = 240$ голосов.

3. Кандидат, набравший больше голосов, получил на 120 голосов больше: $240 + 120 = 360$ голосов.

Проверим: $240 + 360 = 600$ человек, что соответствует условию задачи.

Ответ: один кандидат получил 360 голосов, другой – 240 голосов.

Алгебраический способ:

Пусть $y$ голосов – получил кандидат с меньшим результатом. Тогда второй кандидат получил $(y + 120)$ голосов. Суммарное количество голосов равно 600. Составим и решим уравнение:

$y + (y + 120) = 600$

$2y + 120 = 600$

$2y = 600 - 120$

$2y = 480$

$y = 480 / 2$

$y = 240$

Следовательно, один кандидат получил 240 голосов. Тогда второй кандидат получил: $240 + 120 = 360$ голосов.

Ответ: один кандидат получил 360 голосов, другой – 240 голосов.

Оценка: Как и в предыдущем случае, алгебраический способ представляется более удобным. Он является более универсальным методом для решения подобных задач на нахождение двух чисел по их сумме и разности. Он сводит задачу к механическому выполнению шагов, что снижает вероятность допустить ошибку.