Номер 308, страница 93 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 3.4. Приведение подобных слагаемых. Глава 3. Введение в алгебру - номер 308, страница 93.

308 ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ

1) Учитель показал учащимся арифметический фокус. Он сказал: «Задумайте какое-нибудь число, прибавьте к нему 5, сумму умножьте на 2, к произведению прибавьте 8 и вычтите из результата удвоенное задуманное число. Теперь я отгадаю, какое число у вас получилось. У вас получилось 18».

Покажем с помощью алгебраических преобразований, как учитель узнал результат.

Задумайте число: $a$
Прибавьте к нему 5: $a + 5$
Умножьте сумму на 2: $(a + 5) \cdot 2$
Прибавьте 8: $(a + 5) \cdot 2 + 8$
Вычтите удвоенное задуманное число: $(a + 5) \cdot 2 + 8 - 2a$

Упростим полученное выражение:

$(a + 5) \cdot 2 + 8 - 2a = 2a + 10 + 8 - 2a = 18.$

2) Покажите сами с помощью алгебраических преобразований, на чём основан следующий фокус: «Задумайте число, прибавьте к нему 4, эту сумму умножьте на 3, из произведения вычтите утроенное задуманное число и к результату прибавьте 12. Вы получили число 24».

3) Придумайте свой арифметический фокус и покажите с помощью алгебры, на чём он основан.

1)

Секрет этого арифметического фокуса заключается в том, что в результате последовательности математических операций задуманное число всегда сокращается, приводя к заранее известному результату. Докажем это с помощью алгебраических преобразований.

Пусть $a$ — это число, которое задумал учащийся. Выполним все шаги фокуса, записывая их в виде математического выражения:

1. Задумано число: $a$
2. К нему прибавили 5: $a + 5$
3. Сумму умножили на 2: $(a + 5) \cdot 2$
4. К произведению прибавили 8: $(a + 5) \cdot 2 + 8$
5. Из результата вычли удвоенное задуманное число: $(a + 5) \cdot 2 + 8 - 2a$

Теперь упростим полученное выражение. Сначала раскроем скобки:

$2 \cdot a + 5 \cdot 2 + 8 - 2a = 2a + 10 + 8 - 2a$

Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(2a - 2a) + (10 + 8) = 0 + 18 = 18$

Как мы видим, переменная $a$ в ходе вычислений уничтожается, и результат всегда равен 18, независимо от того, какое число было задумано вначале. Именно поэтому учитель мог с уверенностью назвать итоговый результат.

Ответ: Результат фокуса не зависит от задуманного числа, так как в ходе алгебраических преобразований переменная, обозначающая это число, сокращается, и в итоге всегда получается число 18. Математически это выглядит так: $(a + 5) \cdot 2 + 8 - 2a = 18$.

2)

Этот фокус также основан на алгебраическом тождестве, при котором задуманное число исчезает из выражения. Покажем это, обозначив задуманное число переменной $x$.

Запишем последовательность действий в виде алгебраического выражения:

1. Задумано число: $x$
2. Прибавили к нему 4: $x + 4$
3. Сумму умножили на 3: $(x + 4) \cdot 3$
4. Из произведения вычли утроенное задуманное число: $(x + 4) \cdot 3 - 3x$
5. К результату прибавили 12: $(x + 4) \cdot 3 - 3x + 12$

Упростим получившееся выражение. Раскрываем скобки:

$3 \cdot x + 4 \cdot 3 - 3x + 12 = 3x + 12 - 3x + 12$

Приводим подобные слагаемые:

$(3x - 3x) + (12 + 12) = 0 + 24 = 24$

Таким образом, задуманное число $x$ сокращается, и итоговый результат всегда равен 24.

Ответ: Основа фокуса в том, что при выполнении указанных действий задуманное число ($x$) сокращается, а числовые операции приводят к постоянному результату: $(x + 4) \cdot 3 - 3x + 12 = 3x + 12 - 3x + 12 = 24$.

3)

Пример собственного арифметического фокуса:
1. Задумайте любое число.
2. Умножьте его на 4.
3. К результату прибавьте 12.
4. Полученную сумму разделите на 4.
5. Из того, что получилось, вычтите задуманное вами число.
В результате у вас получилось 3.

Алгебраическое объяснение фокуса:
Чтобы показать, как работает фокус, обозначим задуманное число переменной $y$ и запишем все шаги в виде выражения.

$(y \cdot 4 + 12) : 4 - y$

Теперь упростим это выражение. Сначала выполним деление каждого члена в скобках на 4:

$\frac{4y}{4} + \frac{12}{4} - y = y + 3 - y$

Приведем подобные слагаемые:

$(y - y) + 3 = 0 + 3 = 3$

Фокус основан на том, что какое бы число $y$ ни было задумано, в результате выполнения всех шагов оно сократится, и ответ всегда будет равен 3.

Ответ: Фокус «Задумайте число, умножьте на 4, прибавьте 12, разделите на 4 и вычтите исходное число» всегда даёт в результате 3. Его основа в алгебраическом тождестве: $(y \cdot 4 + 12) : 4 - y = y + 3 - y = 3$.