Номер 3, страница 81 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Вопросы. 3.2. Преобразование буквенных выражений. Глава 3. Введение в алгебру - номер 3, страница 81.

Сформулируйте правило преобразования произведения (фрагмент 3). Из каких законов оно следует?

$2x - (y - 3z)$

Сформулируйте правило преобразования произведения (фрагмент 3)

Правило преобразования произведения многочленов гласит: чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить. Это правило также известно как правило раскрытия скобок.

Для примера умножения двух двучленов $(a+b)$ и $(c+d)$ это правило записывается в виде формулы:

$(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$

Если один из сомножителей — одночлен (например, $a$), а второй — многочлен (например, $b+c$), то правило является прямой записью распределительного закона:

$a(b+c) = ab + ac$

Из каких законов оно следует?

Правило преобразования произведения многочленов не является самостоятельной аксиомой, а является следствием применения более фундаментальных законов алгебры. Ключевым законом, на котором основан вывод, является распределительный (дистрибутивный) закон умножения относительно сложения. Также в процессе вывода и последующих упрощений используются сочетательный (ассоциативный) и переместительный (коммутативный) законы сложения и умножения.

Продемонстрируем вывод на примере произведения $(a+b)(c+d)$. Для этого применим распределительный закон последовательно. Сначала умножим каждый член первого многочлена ( $a$ и $b$ ) на весь второй многочлен $(c+d)$:

$(a+b)(c+d) = a(c+d) + b(c+d)$

Далее снова применим распределительный закон к каждому из получившихся слагаемых:

$a(c+d) = ac + ad$

$b(c+d) = bc + bd$

Теперь сложим все полученные произведения: $ac + ad + bc + bd$. Сочетательный и переместительный законы сложения позволяют нам записывать эту сумму без скобок и в любом удобном порядке.

Ответ: Правило преобразования произведения многочленов гласит, что каждый член одного многочлена нужно умножить на каждый член другого и результаты сложить. Это правило следует в первую очередь из распределительного закона умножения относительно сложения, а также из сочетательного и переместительного законов.