Номер 3, страница 16 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Вопросы. 1.3. Степень с натуральным показателем. Глава 1. Дроби и проценты - номер 3, страница 16.

Какое число – положительное или отрицательное – может получиться при возведении в степень отрицательного числа? От чего зависит знак степени с отрицательным основанием? Сравните с нулём число: $ (-49)^{20} $, $ (-100)^{11} $, $ (-7)^5 \cdot (-23)^6 $

При возведении отрицательного числа в степень может получиться как положительное, так и отрицательное число. Знак итогового числа зависит исключительно от чётности показателя степени.

Рассмотрим общее правило. Пусть $a$ — отрицательное число ($a < 0$), а $n$ — натуральный показатель степени.

• Если показатель степени $n$ — чётное число (например: 2, 4, 6, ...), то результат возведения в степень $a^n$ будет положительным. Это происходит потому, что отрицательные сомножители можно сгруппировать по парам, а произведение двух отрицательных чисел всегда положительно (например, $a \cdot a = |a|^2 > 0$). Произведение нескольких положительных чисел также является положительным.
  Пример: $(-2)^4 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 4 \cdot 4 = 16$. Так как $16 > 0$, то $(-2)^4 > 0$.
• Если показатель степени $n$ — нечётное число (например: 1, 3, 5, ...), то результат возведения в степень $a^n$ будет отрицательным. В этом случае, после группировки всех возможных пар сомножителей, останется один «лишний» отрицательный сомножитель, который и сделает всё произведение отрицательным.
  Пример: $(-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 4 \cdot (-2) = -8$. Так как $-8 < 0$, то $(-2)^3 < 0$.

Ответ: При возведении отрицательного числа в степень может получиться как положительное, так и отрицательное число. Знак степени с отрицательным основанием зависит от чётности показателя степени: если показатель чётный — результат положительный, если нечётный — отрицательный.

Теперь выполним сравнение с нулём для заданных выражений.

$(-49)^{20}$

Основание степени $-49$ является отрицательным числом. Показатель степени $20$ является чётным числом. Так как любое отрицательное число, возведённое в чётную степень, даёт в результате положительное число, то $(-49)^{20}$ больше нуля.
Ответ: $(-49)^{20} > 0$.

$(-100)^{11}$

Основание степени $-100$ является отрицательным числом. Показатель степени $11$ является нечётным числом. Так как любое отрицательное число, возведённое в нечётную степень, даёт в результате отрицательное число, то $(-100)^{11}$ меньше нуля.
Ответ: $(-100)^{11} < 0$.

$(-7)^5 \cdot (-23)^6$

Данное выражение представляет собой произведение двух чисел. Чтобы определить знак всего выражения, необходимо определить знак каждого множителя.

1. Первый множитель $(-7)^5$: основание $-7$ — отрицательное, показатель $5$ — нечётный. Следовательно, результат $(-7)^5$ является отрицательным числом.

2. Второй множитель $(-23)^6$: основание $-23$ — отрицательное, показатель $6$ — чётный. Следовательно, результат $(-23)^6$ является положительным числом.

Произведение отрицательного числа (первый множитель) и положительного числа (второй множитель) всегда является отрицательным числом. Таким образом, итоговое значение выражения будет меньше нуля.
Ответ: $(-7)^5 \cdot (-23)^6 < 0$.