Номер 33, страница 13 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 1.2. Вычисления с рациональными числами. Глава 1. Дроби и проценты - номер 33, страница 13.

33 На координатной прямой отмечены числа $a$, $b$ и $c$ (рис. 1.3).

Какое из двух утверждений верно?

1) $ab < b$ или $ab > b$

2) $abc < a$ или $abc > a$

3) $-ac < c$ или $-ac > c$

Рис. 1.3

Для решения задачи проанализируем информацию, данную на координатной прямой (рис. 1.3). На прямой отмечены числа $a$, $b$ и $c$ относительно 0 и 1. Из их расположения можно сделать следующие выводы об их знаках и величинах:

• Число $c$ расположено левее нуля, следовательно, $c$ — отрицательное число: $c < 0$.
• Число $a$ расположено между нулём и единицей, следовательно, $a$ — положительное число, меньшее единицы: $0 < a < 1$.
• Число $b$ расположено правее единицы, следовательно, $b$ — положительное число, большее единицы: $b > 1$.

Теперь проверим каждое из трех утверждений.

1) $ab < b$ или $ab > b$

Чтобы сравнить произведения $ab$ и $b$, можно разделить обе части неравенства на $b$. Так как $b > 1$, знак $b$ — положительный, поэтому при делении на $b$ знак неравенства не изменится.

Неравенство $ab < b$ эквивалентно неравенству $a < 1$.

Неравенство $ab > b$ эквивалентно неравенству $a > 1$.

Из анализа координатной прямой мы установили, что $0 < a < 1$. Следовательно, неравенство $a < 1$ является верным. Это означает, что неравенство $ab < b$ также верно. Поскольку одна из частей утверждения, соединенных союзом "или", верна, всё утверждение является верным.

Ответ: $ab < b$

2) $abc < a$ или $abc > a$

Для сравнения выражений $abc$ и $a$ разделим обе части неравенства на $a$. Так как $0 < a < 1$, число $a$ положительное, и знак неравенства при делении не изменится.

Неравенство $abc < a$ эквивалентно неравенству $bc < 1$.

Неравенство $abc > a$ эквивалентно неравенству $bc > 1$.

Определим знак произведения $bc$. Мы знаем, что $b > 1$ (положительное число) и $c < 0$ (отрицательное число). Произведение положительного и отрицательного числа всегда отрицательно. Таким образом, $bc < 0$.

Любое отрицательное число меньше 1, поэтому неравенство $bc < 1$ является верным. Следовательно, и неравенство $abc < a$ также верно. Утверждение в целом является верным.

Ответ: $abc < a$

3) $-ac < c$ или $-ac > c$

Чтобы сравнить $-ac$ и $c$, разделим обе части на $c$. Так как $c < 0$, число $c$ отрицательное, поэтому при делении на $c$ знак неравенства необходимо изменить на противоположный.

Неравенство $-ac < c$ эквивалентно неравенству $-a > 1$. Умножив на -1, получим $a < -1$ (знак снова меняется).

Неравенство $-ac > c$ эквивалентно неравенству $-a < 1$. Умножив на -1, получим $a > -1$ (знак снова меняется).

Мы знаем, что $0 < a < 1$. Неравенство $a < -1$ очевидно неверно, так как $a$ — положительное число. А неравенство $a > -1$ верно, так как любое положительное число больше любого отрицательного. Следовательно, неравенство $-ac > c$ является верным, и всё утверждение также верно.

Ответ: $-ac > c$

В результате анализа было установлено, что все три предложенных утверждения являются верными при заданных условиях. Вопрос "Какое из двух утверждений верно?", скорее всего, содержит опечатку (вместо "двух" должно быть "трех"). Поскольку все три утверждения верны, задача в данной формулировке не имеет единственного решения, если предполагается выбор одного пункта.