Номер 32, страница 13 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 1.2. Вычисления с рациональными числами. Глава 1. Дроби и проценты - номер 32, страница 13.

32 На координатной прямой отмечены числа a, b и c (рис. 1.2). Какое из утверждений неверно?

1) $a+c>0$

2) $a-b<0$

3) $a+b>0$

4) $abc<0$

Рис. 1.2

Для решения задачи проанализируем информацию, данную на координатной прямой (рис. 1.2).

• Число a расположено левее нуля, следовательно, a — отрицательное число ($a < 0$).
• Числа b и c расположены правее нуля, следовательно, они — положительные числа ($b > 0$ и $c > 0$).
• По расположению точек относительно нуля можно сравнить их модули (абсолютные величины). Модуль числа — это расстояние от этого числа до нуля на координатной прямой.
  • Расстояние от a до 0 больше, чем расстояние от b до 0. Это значит, что $|a| > |b|$. Так как $b > 0$, то $|b|=b$, следовательно, $|a| > b$.
  • Расстояние от c до 0 больше, чем расстояние от a до 0. Это значит, что $|c| > |a|$. Так как $c > 0$, то $|c|=c$, следовательно, $c > |a|$.

Теперь проверим истинность каждого утверждения.

1) a + c > 0

Мы складываем отрицательное число a и положительное число c. Знак их суммы зависит от того, какой из модулей больше. Как мы установили из анализа рисунка, расстояние от c до 0 больше, чем расстояние от a до 0, то есть $c > |a|$. Так как $a$ — отрицательное число, то $|a| = -a$. Неравенство можно записать в виде $c > -a$. Перенеся -a в левую часть, получаем $c + a > 0$. Таким образом, утверждение является верным.

Ответ: утверждение верно.

2) a - b < 0

Данное неравенство эквивалентно неравенству $a < b$. На координатной прямой любая точка, расположенная левее другой, соответствует меньшему числу. Так как точка a находится левее точки b, то неравенство $a < b$ верно. Также можно рассуждать иначе: из отрицательного числа a вычитается положительное число b. Результат такой операции всегда будет отрицательным и меньшим, чем исходное число a, то есть $a - b < 0$. Таким образом, утверждение является верным.

Ответ: утверждение верно.

3) a + b > 0

Мы складываем отрицательное число a и положительное число b. Знак суммы зависит от их модулей. Из анализа рисунка следует, что расстояние от a до 0 больше, чем расстояние от b до 0, то есть $|a| > |b|$. Когда мы складываем числа с разными знаками, результат будет иметь знак того числа, чей модуль больше. В данном случае модуль числа a больше, а само число a отрицательно. Следовательно, их сумма будет отрицательной: $a + b < 0$. Утверждение $a + b > 0$ противоречит этому выводу. Таким образом, утверждение является неверным.

Ответ: утверждение неверно.

4) abc < 0

Здесь необходимо определить знак произведения трех чисел. Мы знаем, что $a < 0$ (отрицательное), $b > 0$ (положительное) и $c > 0$ (положительное). Произведение чисел с такими знаками будет: $(-) \cdot (+) \cdot (+) = (-)$. Результат будет отрицательным. Следовательно, неравенство $abc < 0$ является верным.

Ответ: утверждение верно.