Номер 3, страница 8 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 1.1. Сравнение дробей. Глава 1. Дроби и проценты - номер 3, страница 8.

3 Сравните числа, используя любой известный вам способ:

а) $ \frac{3}{7} $ и $ \frac{11}{27} $;

б) $ \frac{31}{32} $ и $ \frac{21}{22} $;

в) $ \frac{45}{98} $ и $ \frac{23}{38} $;

г) $ \frac{22}{21} $ и $ \frac{21}{20} $.

а) Сравним дроби $\frac{3}{7}$ и $\frac{11}{27}$.

Чтобы сравнить две дроби, можно привести их к общему знаменателю или использовать метод перекрестного умножения. Второй способ часто бывает проще. Сравним произведения числителя первой дроби на знаменатель второй и числителя второй дроби на знаменатель первой.

Сравниваем $3 \times 27$ и $11 \times 7$.

$3 \times 27 = 81$

$11 \times 7 = 77$

Поскольку $81 > 77$, то и дробь, из которой был взят числитель для большего произведения, больше. Таким образом, $\frac{3}{7} > \frac{11}{27}$.

Ответ: $\frac{3}{7} > \frac{11}{27}$.

б) Сравним дроби $\frac{31}{32}$ и $\frac{21}{22}$.

Обе дроби близки к 1. Удобно сравнить, насколько каждая из них меньше единицы. Найдем их "дополнения до 1".

Для первой дроби: $1 - \frac{31}{32} = \frac{32}{32} - \frac{31}{32} = \frac{1}{32}$.

Для второй дроби: $1 - \frac{21}{22} = \frac{22}{22} - \frac{21}{22} = \frac{1}{22}$.

Теперь сравним полученные дроби $\frac{1}{32}$ и $\frac{1}{22}$. Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше.

Так как $32 > 22$, то $\frac{1}{32} < \frac{1}{22}$.

Чем меньше не хватает до единицы, тем больше сама дробь. Поскольку $\frac{1}{32}$ меньше, чем $\frac{1}{22}$, это означает, что дробь $\frac{31}{32}$ "ближе" к единице, а значит, она больше.

Ответ: $\frac{31}{32} > \frac{21}{22}$.

в) Сравним дроби $\frac{45}{98}$ и $\frac{23}{38}$.

Для сравнения этих дробей можно использовать промежуточное число, например, $\frac{1}{2}$.

Рассмотрим первую дробь $\frac{45}{98}$. Половина от знаменателя 98 равна $98 \div 2 = 49$. Так как числитель $45 < 49$, то дробь $\frac{45}{98} < \frac{49}{98} = \frac{1}{2}$.

Рассмотрим вторую дробь $\frac{23}{38}$. Половина от знаменателя 38 равна $38 \div 2 = 19$. Так как числитель $23 > 19$, то дробь $\frac{23}{38} > \frac{19}{38} = \frac{1}{2}$.

Мы получили, что первая дробь меньше $\frac{1}{2}$, а вторая больше $\frac{1}{2}$. Следовательно, первая дробь меньше второй.

Ответ: $\frac{45}{98} < \frac{23}{38}$.

г) Сравним дроби $\frac{22}{21}$ и $\frac{21}{20}$.

Обе дроби — неправильные, то есть больше 1. Представим каждую из них в виде смешанного числа, выделив целую часть.

$\frac{22}{21} = 1\frac{1}{21} = 1 + \frac{1}{21}$

$\frac{21}{20} = 1\frac{1}{20} = 1 + \frac{1}{20}$

Целые части у обеих дробей одинаковы и равны 1. Значит, для сравнения исходных дробей достаточно сравнить их дробные части: $\frac{1}{21}$ и $\frac{1}{20}$.

Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше. Так как $21 > 20$, то $\frac{1}{21} < \frac{1}{20}$.

Поскольку дробная часть первой дроби меньше дробной части второй, то и сама первая дробь меньше второй.

Ответ: $\frac{22}{21} < \frac{21}{20}$.