Номер 17, страница 9 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 1.1. Сравнение дробей. Глава 1. Дроби и проценты - номер 17, страница 9.

17 При каких натуральных значениях $x$ верно неравенство:

а) $\frac{100}{x} > 20;$

б) $\frac{30}{x} < 10;$

в) $1 < \frac{50}{x} < 10;$

г) $\frac{20}{x} > \frac{1}{2}?$

а) $\frac{100}{x} > 20$

Поскольку по условию $x$ – натуральное число, то $x > 0$. Умножим обе части неравенства на $x$. Так как $x$ — положительное число, знак неравенства не изменится:

$100 > 20x$

Теперь разделим обе части неравенства на 20. Знак неравенства снова не изменится, так как 20 — положительное число:

$\frac{100}{20} > x$

$5 > x$, что эквивалентно $x < 5$.

Натуральные числа, удовлетворяющие условию $x < 5$, это 1, 2, 3, 4.

Ответ: 1, 2, 3, 4.

б) $\frac{30}{x} < 10$

Так как $x$ – натуральное число, $x > 0$. Умножим обе части неравенства на $x$, сохраняя знак неравенства:

$30 < 10x$

Разделим обе части на 10:

$\frac{30}{10} < x$

$3 < x$, что эквивалентно $x > 3$.

Натуральные числа, удовлетворяющие этому условию, — это все целые числа, начиная с 4.

Ответ: 4, 5, 6, ... (все натуральные числа больше 3).

в) $1 < \frac{50}{x} < 10$

Данное двойное неравенство равносильно системе двух неравенств:

1) $\frac{50}{x} < 10$

2) $1 < \frac{50}{x}$

Решим первое неравенство. Учитывая, что $x$ — натуральное число ($x > 0$), умножаем на $x$:

$50 < 10x$

$5 < x$

Решим второе неравенство. Умножаем на $x$:

$x < 50$

Объединяя результаты, получаем, что $x$ должен удовлетворять обоим условиям одновременно: $5 < x$ и $x < 50$. Это можно записать в виде двойного неравенства: $5 < x < 50$.

Натуральные числа, которые больше 5 и меньше 50, — это числа от 6 до 49 включительно.

Ответ: 6, 7, 8, ..., 48, 49.

г) $\frac{20}{x} > \frac{1}{2}$

Так как $x$ – натуральное число, $x > 0$. Умножим обе части неравенства на $2x$. Поскольку $2x$ — положительное число, знак неравенства не изменится:

$20 \cdot 2 > 1 \cdot x$

$40 > x$, что эквивалентно $x < 40$.

Натуральные числа, удовлетворяющие условию $x < 40$, — это числа от 1 до 39 включительно.

Ответ: 1, 2, 3, ..., 39.