Номер 16, страница 9 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 1.1. Сравнение дробей. Глава 1. Дроби и проценты - номер 16, страница 9.

16 Сколько можно составить различных дробей, отличных от 1, у которых числитель и знаменатель являются простыми числами от 11 до 37? Укажите наименьшее и наибольшее из этих чисел. Определите, сколько из составленных дробей меньше $\frac{1}{2}$.

Для решения задачи сначала необходимо определить множество простых чисел, которые будут использоваться для составления дробей.

Простые числа в диапазоне от 11 до 37 включительно: 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37.

Всего в этом диапазоне 8 простых чисел. Обозначим это множество как $P = \{11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37\}$.

Сколько можно составить различных дробей, отличных от 1, у которых числитель и знаменатель являются простыми числами от 11 до 37?

Дробь состоит из числителя и знаменателя. Числитель дроби можно выбрать одним из 8 способов (любое число из множества $P$). Знаменатель дроби также можно выбрать одним из 8 способов.

Общее количество всех возможных пар (числитель, знаменатель) равно произведению числа вариантов для числителя и знаменателя: $8 \times 8 = 64$. Таким образом, можно составить 64 дроби.

По условию, дроби должны быть отличны от 1. Дробь равна единице, когда ее числитель равен знаменателю. Таких дробей можно составить столько, сколько чисел в нашем множестве, то есть 8: $\frac{11}{11}, \frac{13}{13}, \frac{17}{17}, \frac{19}{19}, \frac{23}{23}, \frac{29}{29}, \frac{31}{31}, \frac{37}{37}$.

Чтобы найти количество дробей, не равных 1, нужно из общего количества вычесть количество дробей, равных 1: $64 - 8 = 56$.

Ответ: 56.

Укажите наименьшее и наибольшее из этих чисел.

Наименьшее значение дроби достигается при наименьшем возможном числителе и наибольшем возможном знаменателе. Наименьшее простое число в нашем множестве — это 11. Наибольшее простое число в нашем множестве — это 37. Следовательно, наименьшая дробь равна $\frac{11}{37}$.

Наибольшее значение дроби достигается при наибольшем возможном числителе и наименьшем возможном знаменателе. Наибольшее простое число — это 37. Наименьшее простое число — это 11. Следовательно, наибольшая дробь равна $\frac{37}{11}$.

Ответ: наименьшее число — $\frac{11}{37}$, наибольшее число — $\frac{37}{11}$.

Определите, сколько из составленных дробей меньше $\frac{1}{2}$.

Нам нужно найти количество дробей $\frac{p_1}{p_2}$, для которых выполняется неравенство $\frac{p_1}{p_2} < \frac{1}{2}$, где $p_1$ и $p_2$ — простые числа из множества $P$. Это неравенство можно переписать в виде $2 \cdot p_1 < p_2$.

Рассмотрим все возможные значения для числителя $p_1$ и посчитаем для каждого из них количество подходящих знаменателей $p_2$ из множества $P$:
- Если $p_1 = 11$, то $2 \cdot 11 < p_2 \implies 22 < p_2$. Подходящие знаменатели: 23, 29, 31, 37. (4 дроби)
- Если $p_1 = 13$, то $2 \cdot 13 < p_2 \implies 26 < p_2$. Подходящие знаменатели: 29, 31, 37. (3 дроби)
- Если $p_1 = 17$, то $2 \cdot 17 < p_2 \implies 34 < p_2$. Подходящий знаменатель: 37. (1 дробь)
- Если $p_1 = 19$, то $2 \cdot 19 < p_2 \implies 38 < p_2$. В множестве $P$ нет чисел, больших 38. (0 дробей)

Для числителей $p_1$, больших или равных 19, условие $2 \cdot p_1 < p_2$ выполняться не будет, так как максимальное значение $p_2$ равно 37.

Теперь сложим количество дробей, найденных для каждого числителя: $4 + 3 + 1 + 0 = 8$.

Ответ: 8.