Номер 15, страница 9 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 1.1. Сравнение дробей. Глава 1. Дроби и проценты - номер 15, страница 9.

15 Составьте всевозможные дроби, не равные 1, числители и знаменатели которых — числа 11, 12, 13, и упорядочите их.

Для решения задачи сначала составим все возможные дроби, используя числа 11, 12 и 13 в качестве числителя и знаменателя. Всего можно составить $3 \times 3 = 9$ дробей: $\frac{11}{11}, \frac{11}{12}, \frac{11}{13}, \frac{12}{11}, \frac{12}{12}, \frac{12}{13}, \frac{13}{11}, \frac{13}{12}, \frac{13}{13}$.

Согласно условию, необходимо исключить дроби, равные 1. Дробь равна единице, если ее числитель равен знаменателю. Такими дробями являются $\frac{11}{11}, \frac{12}{12}$ и $\frac{13}{13}$.

После исключения у нас остаются следующие 6 дробей, которые нужно упорядочить: $\frac{11}{12}, \frac{11}{13}, \frac{12}{11}, \frac{12}{13}, \frac{13}{11}, \frac{13}{12}$.

Для удобства упорядочивания (сортировки по возрастанию) разделим дроби на две группы: правильные (значение меньше 1) и неправильные (значение больше 1). Любая правильная дробь всегда меньше любой неправильной.

Упорядочивание правильных дробей
В эту группу входят дроби, у которых числитель меньше знаменателя: $\frac{11}{12}, \frac{11}{13}, \frac{12}{13}$.
1. Сравним дроби с одинаковыми числителями: $\frac{11}{13}$ и $\frac{11}{12}$. Из двух дробей с одинаковым числителем меньше та, у которой знаменатель больше. Следовательно, $\frac{11}{13} < \frac{11}{12}$.
2. Сравним дроби $\frac{11}{12}$ и $\frac{12}{13}$. Приведем их к общему знаменателю $12 \times 13 = 156$. Получаем: $\frac{11}{12} = \frac{11 \times 13}{156} = \frac{143}{156}$ и $\frac{12}{13} = \frac{12 \times 12}{156} = \frac{144}{156}$. Так как $143 < 144$, то $\frac{11}{12} < \frac{12}{13}$.
В результате получаем отсортированный ряд правильных дробей: $\frac{11}{13}, \frac{11}{12}, \frac{12}{13}$.

Упорядочивание неправильных дробей
В эту группу входят дроби, у которых числитель больше знаменателя: $\frac{12}{11}, \frac{13}{11}, \frac{13}{12}$.
1. Сравним дроби с одинаковыми числителями: $\frac{13}{12}$ и $\frac{13}{11}$. Из двух дробей с одинаковым числителем меньше та, у которой знаменатель больше. Следовательно, $\frac{13}{12} < \frac{13}{11}$.
2. Сравним дроби $\frac{13}{12}$ и $\frac{12}{11}$. Приведем их к общему знаменателю $12 \times 11 = 132$. Получаем: $\frac{13}{12} = \frac{13 \times 11}{132} = \frac{143}{132}$ и $\frac{12}{11} = \frac{12 \times 12}{132} = \frac{144}{132}$. Так как $143 < 144$, то $\frac{13}{12} < \frac{12}{11}$.
3. Объединяя результаты, получаем отсортированный ряд неправильных дробей: $\frac{13}{12}, \frac{12}{11}, \frac{13}{11}$.

Итоговый упорядоченный ряд
Объединяя отсортированные группы правильных и неправильных дробей, получаем итоговую последовательность в порядке возрастания.
Ответ: $\frac{11}{13}, \frac{11}{12}, \frac{12}{13}, \frac{13}{12}, \frac{12}{11}, \frac{13}{11}$.