Номер 18, страница 10 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 1.1. Сравнение дробей. Глава 1. Дроби и проценты - номер 18, страница 10.

18 ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО Известно, что:

1) Если знаменатель несократимой дроби не имеет простых делителей, отличных от 2 и 5, то эту дробь можно записать в виде десятичной.

2) Если несократимую дробь можно записать в виде десятичной, то её знаменатель в качестве простых делителей имеет только 2 и 5.

3) Если знаменатель несократимой дроби имеет простые делители, отличные от 2 и 5, то эту дробь нельзя записать в виде десятичной.

4) Если несократимую дробь нельзя представить в виде десятичной, то её знаменатель содержит простые делители, отличные от 2 и 5.

Какие из утверждений останутся верными, если убрать слово «несократимая»?

Для того чтобы ответить на вопрос, проанализируем каждое из четырёх утверждений в новой формулировке, то есть без слова «несократимая». Вспомним основное правило: обыкновенная дробь $\frac{m}{n}$ может быть представлена в виде конечной десятичной дроби тогда и только тогда, когда после её сокращения до несократимого вида $\frac{p}{q}$ знаменатель $q$ не содержит никаких простых делителей, кроме 2 и 5.

1) Если знаменатель дроби не имеет простых делителей, отличных от 2 и 5, то эту дробь можно записать в виде десятичной.

Это утверждение верно.

Пусть дана дробь $\frac{m}{n}$. По условию, разложение знаменателя $n$ на простые множители имеет вид $n = 2^a \cdot 5^b$ для некоторых целых неотрицательных чисел $a$ и $b$. Чтобы представить эту дробь в виде десятичной, нужно привести её к знаменателю, равному степени 10. Пусть $k$ — наибольшее из чисел $a$ и $b$ (то есть $k = \max(a, b)$). Домножим числитель и знаменатель дроби на множитель $2^{k-a} \cdot 5^{k-b}$:$$ \frac{m}{n} = \frac{m}{2^a \cdot 5^b} = \frac{m \cdot 2^{k-a} \cdot 5^{k-b}}{2^a \cdot 5^b \cdot 2^{k-a} \cdot 5^{k-b}} = \frac{m \cdot 2^{k-a} \cdot 5^{k-b}}{2^k \cdot 5^k} = \frac{m \cdot 2^{k-a} \cdot 5^{k-b}}{10^k} $$Полученная дробь по определению является конечной десятичной. Факт сократимости или несократимости исходной дроби не влияет на этот вывод.

2) Если дробь можно записать в виде десятичной, то её знаменатель в качестве простых делителей имеет только 2 и 5.

Это утверждение неверно.

Оно справедливо только для несократимых дробей. Для сократимой дроби знаменатель может содержать и другие простые делители, если они сокращаются с соответствующими множителями в числителе.

Контрпример: рассмотрим дробь $\frac{3}{15}$. Она равна $0.2$, то есть может быть записана в виде конечной десятичной дроби. Однако её знаменатель $n=15$. Разложение знаменателя на простые множители: $15 = 3 \cdot 5$. Он содержит простой делитель 3, который отличен от 2 и 5.

3) Если знаменатель дроби имеет простые делители, отличные от 2 и 5, то эту дробь нельзя записать в виде десятичной.

Это утверждение неверно.

Как и в предыдущем пункте, утверждение было бы верным для несократимой дроби. Но если дробь сократима, то «лишние» простые множители в знаменателе могут сократиться.

Контрпример: используем ту же дробь $\frac{3}{15}$. Её знаменатель $15 = 3 \cdot 5$ имеет простой делитель 3. Согласно утверждению, эту дробь нельзя было бы записать в виде десятичной. Однако, как мы знаем, $\frac{3}{15} = \frac{1}{5} = 0.2$, что является конечной десятичной дробью.

4) Если дробь нельзя представить в виде десятичной, то её знаменатель содержит простые делители, отличные от 2 и 5.

Это утверждение верно.

Докажем его от противного. Пусть дробь $\frac{m}{n}$ нельзя представить в виде конечной десятичной, но при этом её знаменатель $n$ не содержит простых делителей, отличных от 2 и 5. Если знаменатель $n$ не содержит таких делителей, то его разложение на простые множители имеет вид $n = 2^a \cdot 5^b$. Но, как мы показали при разборе первого утверждения, любую дробь с таким знаменателем можно представить в виде конечной десятичной. Это прямо противоречит условию задачи. Следовательно, наше первоначальное предположение было неверным, и знаменатель $n$ обязательно должен содержать простые делители, отличные от 2 и 5.

Таким образом, при удалении слова «несократимая» из формулировок, верными остаются утверждения 1 и 4.

Ответ: утверждения 1 и 4.