Номер 2, страница 6 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Введение. §1. Введение в алгебру - номер 2, страница 6.

Условие.

2. Чему равно значение выражения:

1) $ \frac{1}{3} + \frac{5}{6} $;

2) $ \frac{3}{7} - \frac{2}{9} $;

3) $ \frac{7}{16} \cdot \frac{8}{35} $;

4) $ \frac{4}{9} \cdot 18 $;

5) $ \frac{46}{75} : \frac{23}{45} $;

6) $ \frac{2}{3} : 4 $;

7) $ 10 : \frac{5}{11} $;

8) $ 2\frac{3}{8} + 4\frac{1}{6} $;

9) $ 6 - 1\frac{3}{5} $;

10) $ 4\frac{2}{7} - 1\frac{4}{9} $;

11) $ 8\frac{3}{4} \cdot 1\frac{3}{14} $;

12) $ 1\frac{3}{5} : 5\frac{1}{3} $?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, их нужно привести к общему знаменателю. Общий знаменатель для 3 и 6 — это 6. Дополнительный множитель для первой дроби равен $6:3=2$.
$\frac{1}{3} + \frac{5}{6} = \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{5}{6} = \frac{2}{6} + \frac{5}{6} = \frac{2+5}{6} = \frac{7}{6} = 1\frac{1}{6}$.
Ответ: $1\frac{1}{6}$.

2) Приводим дроби к общему знаменателю. Для 7 и 9 наименьший общий знаменатель равен $7 \cdot 9 = 63$.
$\frac{3}{7} - \frac{2}{9} = \frac{3 \cdot 9}{7 \cdot 9} - \frac{2 \cdot 7}{9 \cdot 7} = \frac{27}{63} - \frac{14}{63} = \frac{27-14}{63} = \frac{13}{63}$.
Ответ: $\frac{13}{63}$.

3) Чтобы умножить две дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели. Перед умножением сократим дробь.
$\frac{7}{16} \cdot \frac{8}{35} = \frac{7 \cdot 8}{16 \cdot 35} = \frac{\cancel{7}^1 \cdot \cancel{8}^1}{\cancel{16}^2 \cdot \cancel{35}^5} = \frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 5} = \frac{1}{10}$.
Ответ: $\frac{1}{10}$.

4) Чтобы умножить дробь на целое число, нужно числитель дроби умножить на это число, а знаменатель оставить без изменений.
$\frac{4}{9} \cdot 18 = \frac{4 \cdot 18}{9} = \frac{4 \cdot \cancel{18}^2}{\cancel{9}^1} = 4 \cdot 2 = 8$.
Ответ: $8$.

5) Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй (перевернутую).
$\frac{46}{75} : \frac{23}{45} = \frac{46}{75} \cdot \frac{45}{23} = \frac{46 \cdot 45}{75 \cdot 23} = \frac{\cancel{46}^2 \cdot \cancel{45}^3}{\cancel{75}^5 \cdot \cancel{23}^1} = \frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 1} = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5}$.
Ответ: $1\frac{1}{5}$.

6) Чтобы разделить дробь на целое число, нужно знаменатель дроби умножить на это число, а числитель оставить без изменений.
$\frac{2}{3} : 4 = \frac{2}{3} : \frac{4}{1} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 4} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$.
Ответ: $\frac{1}{6}$.

7) Чтобы разделить целое число на дробь, нужно это число умножить на дробь, обратную данной.
$10 : \frac{5}{11} = \frac{10}{1} \cdot \frac{11}{5} = \frac{10 \cdot 11}{5} = \frac{\cancel{10}^2 \cdot 11}{\cancel{5}^1} = 2 \cdot 11 = 22$.
Ответ: $22$.

8) Складываем целые и дробные части отдельно. Общий знаменатель для 8 и 6 равен 24.
$2\frac{3}{8} + 4\frac{1}{6} = (2+4) + (\frac{3}{8} + \frac{1}{6}) = 6 + (\frac{3 \cdot 3}{24} + \frac{1 \cdot 4}{24}) = 6 + (\frac{9}{24} + \frac{4}{24}) = 6 + \frac{13}{24} = 6\frac{13}{24}$.
Ответ: $6\frac{13}{24}$.

9) Представим 6 в виде смешанного числа со знаменателем 5, "заняв" единицу у целой части.
$6 - 1\frac{3}{5} = 5\frac{5}{5} - 1\frac{3}{5} = (5-1) + (\frac{5}{5} - \frac{3}{5}) = 4 + \frac{2}{5} = 4\frac{2}{5}$.
Ответ: $4\frac{2}{5}$.

10) Приводим дробные части к общему знаменателю 63. Так как дробная часть уменьшаемого ($\frac{18}{63}$) меньше дробной части вычитаемого ($\frac{28}{63}$), занимаем единицу у целой части.
$4\frac{2}{7} - 1\frac{4}{9} = 4\frac{18}{63} - 1\frac{28}{63} = 3\frac{63+18}{63} - 1\frac{28}{63} = 3\frac{81}{63} - 1\frac{28}{63} = (3-1) + (\frac{81-28}{63}) = 2 + \frac{53}{63} = 2\frac{53}{63}$.
Ответ: $2\frac{53}{63}$.

11) Для умножения смешанных чисел, сначала превратим их в неправильные дроби.
$8\frac{3}{4} = \frac{8 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{35}{4}$.
$1\frac{3}{14} = \frac{1 \cdot 14 + 3}{14} = \frac{17}{14}$.
$8\frac{3}{4} \cdot 1\frac{3}{14} = \frac{35}{4} \cdot \frac{17}{14} = \frac{35 \cdot 17}{4 \cdot 14} = \frac{\cancel{35}^5 \cdot 17}{4 \cdot \cancel{14}^2} = \frac{5 \cdot 17}{4 \cdot 2} = \frac{85}{8} = 10\frac{5}{8}$.
Ответ: $10\frac{5}{8}$.

12) Для деления смешанных чисел, превратим их в неправильные дроби, а затем выполним деление (умножение на обратную дробь).
$1\frac{3}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{8}{5}$.
$5\frac{1}{3} = \frac{5 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{16}{3}$.
$1\frac{3}{5} : 5\frac{1}{3} = \frac{8}{5} : \frac{16}{3} = \frac{8}{5} \cdot \frac{3}{16} = \frac{8 \cdot 3}{5 \cdot 16} = \frac{\cancel{8}^1 \cdot 3}{5 \cdot \cancel{16}^2} = \frac{3}{10}$.
Ответ: $\frac{3}{10}$.