Номер 250, страница 101 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Минаева, Рослова

8. Разложение многочленов на множители - номер 250, страница 101.

Условие.

250. a)

$a + b + a^2 - b^2 = (a + b) + (a^2 - b^2) = $

б) $ax + ay + x^2 - y^2 = $

В) $a^2 - c^2 - a - c = $

Г) $x - y - 5x^2 + 5y^2 = $

Решение.

Решение 2.

а) Для разложения на множители выражения $a + b + a^2 - b^2$ воспользуемся методом группировки слагаемых. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое, как показано в задании:
$(a + b) + (a^2 - b^2)$.
Выражение $a^2 - b^2$ является разностью квадратов и раскладывается по формуле $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$. Применив ее, получаем:
$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Подставим это разложение в наше выражение:
$(a + b) + (a - b)(a + b)$.
Теперь вынесем общий множитель $(a + b)$ за скобку:
$(a + b) \cdot 1 + (a - b)(a + b) = (a + b)(1 + (a - b))$.
Раскроем внутренние скобки и упростим:
$(a + b)(1 + a - b)$.
Ответ: $(a + b)(1 + a - b)$.

б) Чтобы разложить на множители выражение $ax + ay + x^2 - y^2$, сгруппируем слагаемые: первые два и последние два.
$(ax + ay) + (x^2 - y^2)$.
Из первой группы вынесем общий множитель $a$: $a(x + y)$.
Вторая группа является разностью квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.
Подставим полученные разложения в выражение:
$a(x + y) + (x - y)(x + y)$.
Вынесем общий множитель $(x + y)$ за скобку:
$(x + y)(a + (x - y))$.
Упростим выражение во второй скобке:
$(x + y)(a + x - y)$.
Ответ: $(x + y)(a + x - y)$.

в) Для разложения на множители выражения $a^2 - c^2 - a - c$ сгруппируем слагаемые.
$(a^2 - c^2) + (-a - c)$.
Чтобы получить общий множитель, вынесем знак минус из второй скобки:
$(a^2 - c^2) - (a + c)$.
Первая группа, $a^2 - c^2$, является разностью квадратов: $(a - c)(a + c)$.
Подставим это в наше выражение:
$(a - c)(a + c) - (a + c)$.
Вынесем за скобку общий множитель $(a + c)$:
$(a + c)((a - c) - 1)$.
Упростим выражение во второй скобке:
$(a + c)(a - c - 1)$.
Ответ: $(a + c)(a - c - 1)$.

г) Чтобы разложить на множители $x - y - 5x^2 + 5y^2$, применим метод группировки.
$(x - y) + (-5x^2 + 5y^2)$.
Из второй группы вынесем общий множитель $-5$, чтобы получить разность квадратов:
$(x - y) - 5(x^2 - y^2)$.
Выражение $x^2 - y^2$ является разностью квадратов: $(x - y)(x + y)$.
Подставим это в наше выражение:
$(x - y) \cdot 1 - 5(x - y)(x + y)$.
Теперь вынесем за скобку общий множитель $(x - y)$:
$(x - y)(1 - 5(x + y))$.
Раскроем скобки во втором множителе:
$(x - y)(1 - 5x - 5y)$.
Ответ: $(x - y)(1 - 5x - 5y)$.