Номер 243, страница 99 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Минаева, Рослова

8. Разложение многочленов на множители - номер 243, страница 99.

Условие.

243. Упростите выражение.

а) $(x + 2y)(x^2 - 2xy + 4y^2) = \text{....}$

б) $(3m - n)(9m^2 + 3mn + n^2) = \text{....}$

в) $(y - z)(y^2 + yz + z^2)(y^3 + z^3) = (\text{...........})(\text{...........}) = \text{....}$

г) $(2 + a)(4 - 2a + a^2)(8 - a^3) = \text{......................}$

Решение.

Решение 2.

а) Данное выражение $(x + 2y)(x^2 - 2xy + 4y^2)$ является произведением суммы двух выражений на неполный квадрат их разности. Это соответствует формуле сокращенного умножения для суммы кубов: $(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3$. В нашем случае $a = x$ и $b = 2y$. Подставив эти значения в формулу, получаем: $x^3 + (2y)^3$. Упростив, имеем $x^3 + 8y^3$.

Ответ: $x^3 + 8y^3$.

б) Выражение $(3m - n)(9m^2 + 3mn + n^2)$ является произведением разности двух выражений на неполный квадрат их суммы. Это соответствует формуле сокращенного умножения для разности кубов: $(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$. Здесь $a = 3m$ и $b = n$. Применяя формулу, получаем: $(3m)^3 - n^3$. Упростив, имеем $27m^3 - n^3$.

Ответ: $27m^3 - n^3$.

в) Выражение $(y - z)(y^2 + yz + z^2)(y^3 + z^3)$ состоит из трех множителей. Сначала упростим произведение первых двух множителей $(y - z)(y^2 + yz + z^2)$, которое представляет собой формулу разности кубов $(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$ при $a=y$ и $b=z$. Результат равен $y^3 - z^3$. Теперь исходное выражение принимает вид $(y^3 - z^3)(y^3 + z^3)$. Это формула разности квадратов $(A - B)(A + B) = A^2 - B^2$, где $A = y^3$ и $B = z^3$. Применяя ее, получаем $(y^3)^2 - (z^3)^2 = y^6 - z^6$.

Ответ: $(y^3 - z^3)(y^3 + z^3) = y^6 - z^6$.

г) В выражении $(2 + a)(4 - 2a + a^2)(8 - a^3)$ сначала упростим произведение первых двух множителей $(2 + a)(4 - 2a + a^2)$. Это формула суммы кубов $(A + B)(A^2 - AB + B^2) = A^3 + B^3$, где $A=2$ и $B=a$. Результат равен $2^3 + a^3 = 8 + a^3$. Теперь исходное выражение принимает вид $(8 + a^3)(8 - a^3)$. Это формула разности квадратов $(A + B)(A - B) = A^2 - B^2$, где $A = 8$ и $B = a^3$. Применяя ее, получаем $8^2 - (a^3)^2 = 64 - a^6$.

Ответ: $64 - a^6$.