Номер 239, страница 99 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Минаева, Рослова

8. Разложение многочленов на множители - номер 239, страница 99.

Условие.

239. Докажите, что $3^6 - 1$ делится на 4.

$3^6 - 1 = \ldots$

Решение.

Решение 2.

Чтобы доказать, что выражение $3^6 - 1$ делится на 4, можно разложить его на множители, используя алгебраические формулы. Это позволит увидеть делимость, не вычисляя значение степени полностью.

Воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Представим $3^6$ как $(3^3)^2$:

$3^6 - 1 = (3^3)^2 - 1^2$

Применяя формулу, где $a = 3^3$ и $b = 1$, получаем:

$3^6 - 1 = (3^3 - 1)(3^3 + 1)$

Теперь вычислим значения выражений в скобках:

$3^3 = 27$

Следовательно:

Первый множитель: $27 - 1 = 26$

Второй множитель: $27 + 1 = 28$

Таким образом, исходное выражение равно произведению:

$3^6 - 1 = 26 \cdot 28$

Один из множителей этого произведения, число 28, делится на 4 без остатка ($28 \div 4 = 7$). Если хотя бы один из множителей делится на некоторое число, то и все произведение делится на это число. Следовательно, $3^6 - 1$ делится на 4.

Для полноты решения вычислим окончательное значение:

$3^6 - 1 = 26 \cdot 28 = 728$

Проверка делением: $728 \div 4 = 182$.

Альтернативный способ разложения:

Можно использовать формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$, представив $3^6$ как $(3^2)^3 = 9^3$:

$3^6 - 1 = 9^3 - 1^3 = (9-1)(9^2+9+1) = 8 \cdot (81+9+1) = 8 \cdot 91$.

В этом случае множитель 8 очевидно делится на 4, что также доказывает утверждение.

Ответ: $3^6 - 1 = 729 - 1 = 728$. Доказательство делимости на 4: $3^6 - 1 = (3^3-1)(3^3+1) = 26 \cdot 28$. Так как множитель 28 делится на 4, то и все произведение делится на 4.