Страница 99 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Минаева, Рослова

237. a) $32 \cdot 28 = (30 + 2)(30 - 2) = \dots$

б) $23 \cdot 17 = \dots$

в) $10,6 \cdot 9,4 = \dots$

а) Данный пример решается с помощью формулы разности квадратов: $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$. В этом выражении $a = 30$ и $b = 2$.
$32 \cdot 28 = (30 + 2)(30 - 2) = 30^2 - 2^2 = 900 - 4 = 896$.
Ответ: 896

б) Чтобы использовать формулу разности квадратов, представим множители 23 и 17 в виде суммы и разности. Для этого найдем их среднее арифметическое: $(23 + 17) / 2 = 40 / 2 = 20$. Теперь мы можем записать $23$ как $20 + 3$, а $17$ как $20 - 3$.
$23 \cdot 17 = (20 + 3)(20 - 3) = 20^2 - 3^2 = 400 - 9 = 391$.
Ответ: 391

в) Данный пример решается аналогично предыдущему. Найдем среднее арифметическое чисел $10,6$ и $9,4$: $(10,6 + 9,4) / 2 = 20 / 2 = 10$. Таким образом, $10,6 = 10 + 0,6$, а $9,4 = 10 - 0,6$.
$10,6 \cdot 9,4 = (10 + 0,6)(10 - 0,6) = 10^2 - (0,6)^2 = 100 - 0,36 = 99,64$.
Ответ: 99,64

238. Докажите, что $2^8 - 1$ делится на 5.

$2^8 - 1 = (2^4 - 1)(2^4 + 1) = \ldots$

Для доказательства того, что выражение $2^8 - 1$ делится на 5, воспользуемся подсказкой из условия и применим формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Представим исходное выражение в виде разности квадратов, где $a = 2^4$ и $b = 1$:$2^8 - 1 = (2^4)^2 - 1^2 = (2^4 - 1)(2^4 + 1)$.

Теперь вычислим значение каждого множителя в полученном произведении.Сначала найдем значение $2^4$:
$2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$.

Подставим это значение в скобки:
Первый множитель: $2^4 - 1 = 16 - 1 = 15$.
Второй множитель: $2^4 + 1 = 16 + 1 = 17$.

Таким образом, исходное выражение можно записать в виде произведения:$2^8 - 1 = 15 \times 17$.

Согласно свойству делимости, если в произведении хотя бы один из множителей делится на некоторое число, то и все произведение делится на это число. В нашем случае множитель 15 делится на 5, так как $15 = 5 \times 3$. Следовательно, все произведение $15 \times 17$ также делится на 5.

Это доказывает, что исходное выражение $2^8 - 1$ делится на 5. Для дополнительной проверки можно вычислить его значение: $2^8 - 1 = 256 - 1 = 255$. Число 255 оканчивается на 5, а значит, делится на 5 нацело ($255 \div 5 = 51$), что и подтверждает наше доказательство.

Ответ: Утверждение доказано. Выражение $2^8 - 1$ равно произведению $15 \times 17$. Так как один из множителей, а именно 15, делится на 5, то и все произведение делится на 5.

239. Докажите, что $3^6 - 1$ делится на 4.

$3^6 - 1 = \ldots$

Чтобы доказать, что выражение $3^6 - 1$ делится на 4, можно разложить его на множители, используя алгебраические формулы. Это позволит увидеть делимость, не вычисляя значение степени полностью.

Воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Представим $3^6$ как $(3^3)^2$:

$3^6 - 1 = (3^3)^2 - 1^2$

Применяя формулу, где $a = 3^3$ и $b = 1$, получаем:

$3^6 - 1 = (3^3 - 1)(3^3 + 1)$

Теперь вычислим значения выражений в скобках:

$3^3 = 27$

Следовательно:

Первый множитель: $27 - 1 = 26$

Второй множитель: $27 + 1 = 28$

Таким образом, исходное выражение равно произведению:

$3^6 - 1 = 26 \cdot 28$

Один из множителей этого произведения, число 28, делится на 4 без остатка ($28 \div 4 = 7$). Если хотя бы один из множителей делится на некоторое число, то и все произведение делится на это число. Следовательно, $3^6 - 1$ делится на 4.

Для полноты решения вычислим окончательное значение:

$3^6 - 1 = 26 \cdot 28 = 728$

Проверка делением: $728 \div 4 = 182$.

Альтернативный способ разложения:

Можно использовать формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$, представив $3^6$ как $(3^2)^3 = 9^3$:

$3^6 - 1 = 9^3 - 1^3 = (9-1)(9^2+9+1) = 8 \cdot (81+9+1) = 8 \cdot 91$.

В этом случае множитель 8 очевидно делится на 4, что также доказывает утверждение.

Ответ: $3^6 - 1 = 729 - 1 = 728$. Доказательство делимости на 4: $3^6 - 1 = (3^3-1)(3^3+1) = 26 \cdot 28$. Так как множитель 28 делится на 4, то и все произведение делится на 4.

240. Закончите сокращение дроби.

а) $ \frac{(a - 3)^2}{a^2 - 9} = \frac{.........}{a + 3} $

б) $ \frac{c + b}{b^2 - c^2} = \frac{1}{.........} $

в) $ \frac{xy - x}{y^2 - 1} = \frac{.........}{y + 1} $

г) $ \frac{b^2 - a^2}{ac - bc} = \frac{a + b}{.........} $

а) Для сокращения дроби $\frac{(a-3)^2}{a^2 - 9}$ разложим знаменатель на множители по формуле разности квадратов: $a^2 - 9 = a^2 - 3^2 = (a-3)(a+3)$. Дробь примет вид $\frac{(a-3)(a-3)}{(a-3)(a+3)}$. После сокращения общего множителя $(a-3)$ в числителе и знаменателе получаем $\frac{a-3}{a+3}$. Таким образом, в числителе пропущено выражение $a-3$.
Ответ: $a-3$

б) Для сокращения дроби $\frac{c+b}{b^2 - c^2}$ разложим знаменатель по формуле разности квадратов: $b^2 - c^2 = (b-c)(b+c)$. Дробь примет вид $\frac{c+b}{(b-c)(b+c)}$. Учитывая, что $c+b = b+c$ (от перемены мест слагаемых сумма не меняется), сокращаем этот общий множитель и получаем $\frac{1}{b-c}$. Таким образом, в знаменателе пропущено выражение $b-c$.
Ответ: $b-c$

в) Для сокращения дроби $\frac{xy-x}{y^2-1}$ разложим на множители числитель и знаменатель. В числителе вынесем общий множитель $x$ за скобки: $xy - x = x(y-1)$. Знаменатель разложим по формуле разности квадратов: $y^2-1 = y^2-1^2 = (y-1)(y+1)$. Дробь примет вид $\frac{x(y-1)}{(y-1)(y+1)}$. После сокращения общего множителя $(y-1)$ получаем $\frac{x}{y+1}$. Таким образом, в числителе пропущен $x$.
Ответ: $x$

г) Для сокращения дроби $\frac{b^2-a^2}{ac-bc}$ разложим на множители числитель и знаменатель. Числитель раскладывается по формуле разности квадратов: $b^2-a^2 = (b-a)(b+a)$. В знаменателе вынесем общий множитель $c$ за скобки: $ac-bc=c(a-b)$. Дробь примет вид $\frac{(b-a)(b+a)}{c(a-b)}$. Заметим, что множители $(b-a)$ и $(a-b)$ противоположны, то есть $b-a = -(a-b)$. Перепишем дробь: $\frac{-(a-b)(a+b)}{c(a-b)}$. Сократив общий множитель $(a-b)$, получим $\frac{-(a+b)}{c}$, что равносильно $\frac{a+b}{-c}$. Таким образом, в знаменателе пропущено выражение $-c$.
Ответ: $-c$

241. Запишите формулы разности и суммы кубов.

Формула разности кубов

Разность кубов двух выражений ($a$ и $b$) — это одна из формул сокращенного умножения. Она гласит, что разность кубов равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы.

Формула выглядит следующим образом:

$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

Выражение $a^2 + ab + b^2$ называется неполным квадратом суммы, так как полный квадрат суммы выглядит как $a^2 + 2ab + b^2$.

Для доказательства этой формулы можно раскрыть скобки в правой части выражения:

$(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a \cdot a^2 + a \cdot ab + a \cdot b^2 - b \cdot a^2 - b \cdot ab - b \cdot b^2 = a^3 + a^2b + ab^2 - a^2b - ab^2 - b^3$

После приведения подобных слагаемых ($a^2b - a^2b = 0$ и $ab^2 - ab^2 = 0$) мы получаем исходное выражение в левой части:

$a^3 - b^3$

Формула доказана.

Ответ: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

Формула суммы кубов

Сумма кубов двух выражений ($a$ и $b$) — это еще одна формула сокращенного умножения. Она утверждает, что сумма кубов равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности.

Формула выглядит следующим образом:

$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

Выражение $a^2 - ab + b^2$ называется неполным квадратом разности, так как полный квадрат разности — это $a^2 - 2ab + b^2$.

Докажем эту формулу, также раскрыв скобки в правой части:

$(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a \cdot a^2 - a \cdot ab + a \cdot b^2 + b \cdot a^2 - b \cdot ab + b \cdot b^2 = a^3 - a^2b + ab^2 + a^2b - ab^2 + b^3$

После приведения подобных слагаемых ($-a^2b + a^2b = 0$ и $ab^2 - ab^2 = 0$) мы получаем выражение из левой части:

$a^3 + b^3$

Формула доказана.

Ответ: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

242. Подчеркните выражения, которые можно упростить, используя формулу разности кубов или формулу суммы кубов.

$(x + 2y)(x^2 - 2xy + 4y^2)$

$(4 - a^2)(16 + 4a^2 + a^4)$

$(bc - a)(a^2 + abc + b^2c^2)$

$(1 - n + n^2)(n + 1)$

$(3a + b)(9a^2 + 3ab + b^2)$

$(4 + 4z + z^2)(2 - z)$

В этой задаче требуется определить, какие из предложенных произведений можно упростить с помощью формул суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ или разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$. Проанализируем каждое выражение.

(x + 2y)(x^2 - 2xy + 4y^2)

Это выражение соответствует формуле суммы кубов. Пусть $a = x$ и $b = 2y$. Тогда первая скобка – это $(a+b)$. Вторая скобка должна быть неполным квадратом разности: $a^2 - ab + b^2$. Проверим это: $a^2 = x^2$, $ab = x \cdot 2y = 2xy$, $b^2 = (2y)^2 = 4y^2$. Выражение во второй скобке $(x^2 - 2xy + 4y^2)$ полностью совпадает с требуемой формой. Таким образом, произведение можно упростить: $(x + 2y)(x^2 - 2xy + 4y^2) = x^3 + (2y)^3 = x^3 + 8y^3$.

Ответ: Выражение можно упростить. Результат: $x^3 + 8y^3$.

(4 - a^2)(16 + 4a^2 + a^4)

Это выражение соответствует формуле разности кубов. Пусть $a = 4$ и $b = a^2$. Тогда первая скобка – это $(a-b)$. Вторая скобка должна быть неполным квадратом суммы: $a^2 + ab + b^2$. Проверим это: $a^2 = 4^2 = 16$, $ab = 4 \cdot a^2 = 4a^2$, $b^2 = (a^2)^2 = a^4$. Выражение во второй скобке $(16 + 4a^2 + a^4)$ полностью совпадает с требуемой формой. Таким образом, произведение можно упростить: $(4 - a^2)(16 + 4a^2 + a^4) = 4^3 - (a^2)^3 = 64 - a^6$.

Ответ: Выражение можно упростить. Результат: $64 - a^6$.

(bc - a)(a^2 + abc + b^2c^2)

Это выражение соответствует формуле разности кубов. Пусть $A = bc$ и $B = a$. Тогда первая скобка – это $(A-B)$. Вторая скобка должна быть неполным квадратом суммы: $A^2 + AB + B^2$. Проверим это: $A^2 = (bc)^2 = b^2c^2$, $AB = (bc) \cdot a = abc$, $B^2 = a^2$. Выражение во второй скобке $(a^2 + abc + b^2c^2)$ содержит все нужные члены, хоть и в другом порядке $(B^2 + AB + A^2)$. Это совпадает с требуемой формой. Таким образом, произведение можно упростить: $(bc - a)(a^2 + abc + b^2c^2) = (bc)^3 - a^3 = b^3c^3 - a^3$.

Ответ: Выражение можно упростить. Результат: $b^3c^3 - a^3$.

(1 - n + n^2)(n + 1)

Поменяем множители местами для наглядности: $(n + 1)(n^2 - n + 1)$. Это выражение соответствует формуле суммы кубов. Пусть $a = n$ и $b = 1$. Тогда первая скобка – это $(a+b)$. Вторая скобка должна быть неполным квадратом разности: $a^2 - ab + b^2$. Проверим это: $a^2 = n^2$, $ab = n \cdot 1 = n$, $b^2 = 1^2 = 1$. Выражение во второй скобке $(n^2 - n + 1)$ полностью совпадает с требуемой формой. Таким образом, произведение можно упростить: $(n + 1)(n^2 - n + 1) = n^3 + 1^3 = n^3 + 1$.

Ответ: Выражение можно упростить. Результат: $n^3 + 1$.

(3a + b)(9a^2 + 3ab + b^2)

Попытаемся применить формулу суммы кубов. Пусть $A = 3a$ и $B = b$. Первая скобка $(A+B)$ соответствует. Вторая скобка для формулы суммы кубов должна быть неполным квадратом разности: $A^2 - AB + B^2 = (3a)^2 - (3a)(b) + b^2 = 9a^2 - 3ab + b^2$. Однако в данном выражении вторая скобка равна $(9a^2 + 3ab + b^2)$. Знак среднего члена не совпадает (нужен «минус», а стоит «плюс»).

Ответ: Выражение нельзя упростить с помощью формулы суммы или разности кубов.

(4 + 4z + z^2)(2 - z)

Поменяем множители местами: $(2 - z)(z^2 + 4z + 4)$. Попытаемся применить формулу разности кубов. Пусть $A = 2$ и $B = z$. Первая скобка $(A-B)$ соответствует. Вторая скобка для формулы разности кубов должна быть неполным квадратом суммы: $A^2 + AB + B^2 = 2^2 + (2)(z) + z^2 = 4 + 2z + z^2$. Однако в данном выражении вторая скобка равна $(z^2 + 4z + 4)$. Средний член не совпадает (нужен $2z$, а стоит $4z$).

Ответ: Выражение нельзя упростить с помощью формулы суммы или разности кубов.

243. Упростите выражение.

а) $(x + 2y)(x^2 - 2xy + 4y^2) = \text{....}$

б) $(3m - n)(9m^2 + 3mn + n^2) = \text{....}$

в) $(y - z)(y^2 + yz + z^2)(y^3 + z^3) = (\text{...........})(\text{...........}) = \text{....}$

г) $(2 + a)(4 - 2a + a^2)(8 - a^3) = \text{......................}$

а) Данное выражение $(x + 2y)(x^2 - 2xy + 4y^2)$ является произведением суммы двух выражений на неполный квадрат их разности. Это соответствует формуле сокращенного умножения для суммы кубов: $(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3$. В нашем случае $a = x$ и $b = 2y$. Подставив эти значения в формулу, получаем: $x^3 + (2y)^3$. Упростив, имеем $x^3 + 8y^3$.

Ответ: $x^3 + 8y^3$.

б) Выражение $(3m - n)(9m^2 + 3mn + n^2)$ является произведением разности двух выражений на неполный квадрат их суммы. Это соответствует формуле сокращенного умножения для разности кубов: $(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$. Здесь $a = 3m$ и $b = n$. Применяя формулу, получаем: $(3m)^3 - n^3$. Упростив, имеем $27m^3 - n^3$.

Ответ: $27m^3 - n^3$.

в) Выражение $(y - z)(y^2 + yz + z^2)(y^3 + z^3)$ состоит из трех множителей. Сначала упростим произведение первых двух множителей $(y - z)(y^2 + yz + z^2)$, которое представляет собой формулу разности кубов $(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$ при $a=y$ и $b=z$. Результат равен $y^3 - z^3$. Теперь исходное выражение принимает вид $(y^3 - z^3)(y^3 + z^3)$. Это формула разности квадратов $(A - B)(A + B) = A^2 - B^2$, где $A = y^3$ и $B = z^3$. Применяя ее, получаем $(y^3)^2 - (z^3)^2 = y^6 - z^6$.

Ответ: $(y^3 - z^3)(y^3 + z^3) = y^6 - z^6$.

г) В выражении $(2 + a)(4 - 2a + a^2)(8 - a^3)$ сначала упростим произведение первых двух множителей $(2 + a)(4 - 2a + a^2)$. Это формула суммы кубов $(A + B)(A^2 - AB + B^2) = A^3 + B^3$, где $A=2$ и $B=a$. Результат равен $2^3 + a^3 = 8 + a^3$. Теперь исходное выражение принимает вид $(8 + a^3)(8 - a^3)$. Это формула разности квадратов $(A + B)(A - B) = A^2 - B^2$, где $A = 8$ и $B = a^3$. Применяя ее, получаем $8^2 - (a^3)^2 = 64 - a^6$.

Ответ: $64 - a^6$.