Страница 96 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Минаева, Рослова

225. Разложите на множители.

а) $a(b - 4) + b(4 - b) = (b - 4)(...)$

б) $x(y - 3) + y(3 - y) = (3 - y)(...)$

в) $y(x - y) + c(y - x) = ...$

г) $x^2(x - 5) + (5 - x)(5 + x) = ...$

д) $(1 - a)a^2 + (a - 1)^2 = (1 - a)(...)$

е) $(1 - c)c^3 + (c - 1)^2 = (c - 1)(...)$

а) Исходное выражение: $a(b - 4) + b(4 - b)$.

Для разложения на множители необходимо найти общий множитель. Заметим, что выражения в скобках $(b - 4)$ и $(4 - b)$ отличаются только знаком. Можно вынести $-1$ за скобки во втором слагаемом: $4 - b = -(b - 4)$.

Подставим это в исходное выражение:

$a(b - 4) + b(-(b - 4)) = a(b - 4) - b(b - 4)$

Теперь мы видим общий множитель $(b - 4)$, который можно вынести за скобки:

$(b - 4)(a - b)$

Ответ: $(b - 4)(a - b)$.

б) Исходное выражение: $x(y - 3) + y(3 - y)$.

Аналогично предыдущему пункту, заметим, что $y - 3 = -(3 - y)$. Преобразуем первое слагаемое, чтобы получить общий множитель $(3 - y)$.

$x(-(3 - y)) + y(3 - y) = -x(3 - y) + y(3 - y)$

Вынесем общий множитель $(3 - y)$ за скобки:

$(3 - y)(-x + y) = (3 - y)(y - x)$

Ответ: $(3 - y)(y - x)$.

в) Исходное выражение: $y(x - y) + c(y - x)$.

Здесь также множители в скобках отличаются знаком: $y - x = -(x - y)$.

Подставим это во второе слагаемое:

$y(x - y) + c(-(x - y)) = y(x - y) - c(x - y)$

Вынесем общий множитель $(x - y)$ за скобки:

$(x - y)(y - c)$

Ответ: $(x - y)(y - c)$.

г) Исходное выражение: $x^2(x - 5) + (5 - x)(5 + x)$.

Преобразуем множитель $(5 - x)$, вынеся за скобку $-1$: $5 - x = -(x - 5)$.

Подставим в выражение:

$x^2(x - 5) + (-(x - 5))(5 + x) = x^2(x - 5) - (x - 5)(5 + x)$

Теперь можно вынести общий множитель $(x - 5)$ за скобки:

$(x - 5)(x^2 - (5 + x))$

Раскроем скобки во втором множителе и упростим его:

$(x - 5)(x^2 - 5 - x) = (x - 5)(x^2 - x - 5)$

Ответ: $(x - 5)(x^2 - x - 5)$.

д) Исходное выражение: $(1 - a)a^2 + (a - 1)^2$.

Заметим, что $(a - 1)^2 = (-(1 - a))^2 = (-1)^2(1 - a)^2 = (1 - a)^2$. Квадрат противоположных выражений равен.

Заменим $(a - 1)^2$ на $(1 - a)^2$ в исходном выражении:

$(1 - a)a^2 + (1 - a)^2$

Вынесем общий множитель $(1 - a)$ за скобки:

$(1 - a)(a^2 + (1 - a))$

Упростим выражение во второй скобке:

$(1 - a)(a^2 + 1 - a) = (1 - a)(a^2 - a + 1)$

Ответ: $(1 - a)(a^2 - a + 1)$.

е) Исходное выражение: $(1 - c)c^3 + (c - 1)^2$.

Как и в предыдущем задании, $(c - 1)^2 = (1 - c)^2$. Однако в задании требуется выделить множитель $(c-1)$. Поэтому преобразуем первое слагаемое: $1 - c = -(c - 1)$.

Подставим это в исходное выражение:

$-(c - 1)c^3 + (c - 1)^2$

Вынесем общий множитель $(c - 1)$ за скобки:

$(c - 1)(-c^3 + (c - 1))$

Раскроем внутренние скобки во втором множителе:

$(c - 1)(-c^3 + c - 1)$

Ответ: $(c - 1)(-c^3 + c - 1)$.

226. Разложите на множители, группируя слагаемые разными способами.

а) $3x + 3y + ax + ay = (3x + 3y) + (ax + ay) = \dots$

$= 3(x + y) + a(x + y) = \dots$

.....................

$3x + 3y + ax + ay = (3x + ax) + (3y + ay) = \dots$

.....................

б) $ab + 4a + bc + 4c = (ab + 4a) + (bc + 4c) = \dots$

.....................

$ab + 4a + bc + 4c = \dots$

.....................

В) $m + n + m^2n + m^3 = \dots$

.....................

$m + n + m^2n + m^3 = \dots$

.....................

$3x + 3y + ax + ay = (3x + 3y) + (ax + ay) = 3(x + y) + a(x + y) = (3 + a)(x + y)$.
Ответ: $(3 + a)(x + y)$.

$3x + 3y + ax + ay = (3x + ax) + (3y + ay) = x(3 + a) + y(3 + a) = (3 + a)(x + y)$.
Ответ: $(3 + a)(x + y)$.

$ab + 4a + bc + 4c = (ab + 4a) + (bc + 4c) = a(b + 4) + c(b + 4) = (a + c)(b + 4)$.
Ответ: $(a + c)(b + 4)$.

$ab + 4a + bc + 4c = (ab + bc) + (4a + 4c) = b(a + c) + 4(a + c) = (a + c)(b + 4)$.
Ответ: $(a + c)(b + 4)$.

$m + n + m^2n + m^3 = (m + n) + (m^2n + m^3) = 1(m + n) + m^2(n + m) = (1 + m^2)(m + n)$.
Ответ: $(1 + m^2)(m + n)$.

$m + n + m^2n + m^3 = (m + m^3) + (n + m^2n) = m(1 + m^2) + n(1 + m^2) = (1 + m^2)(m + n)$.
Ответ: $(1 + m^2)(m + n)$.