Страница 95 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Минаева, Рослова

221. a) $\frac{a^2 + 5a}{5b + ab} = ...$

б) $\frac{km + m}{k^2 + k^3} = ...$

в) $\frac{9ay + 9az}{6axy + 6axz} = ...$

а) Чтобы упростить дробь $\frac{a^2 + 5a}{5b + ab}$, нужно разложить на множители числитель и знаменатель.

1. В числителе вынесем общий множитель $a$ за скобки: $a^2 + 5a = a(a + 5)$.

2. В знаменателе вынесем общий множитель $b$ за скобки: $5b + ab = b(5 + a)$.

3. Подставим полученные выражения обратно в дробь: $\frac{a(a + 5)}{b(5 + a)}$.

4. Так как от перемены мест слагаемых сумма не меняется, $(a + 5) = (5 + a)$. Сократим дробь на общий множитель $(a + 5)$.

$\frac{a\cancel{(a + 5)}}{b\cancel{(5 + a)}} = \frac{a}{b}$

Ответ: $\frac{a}{b}$

б) Упростим дробь $\frac{km + m}{k^2 + k^3}$, разложив на множители числитель и знаменатель.

1. В числителе вынесем общий множитель $m$ за скобки: $km + m = m(k + 1)$.

2. В знаменателе вынесем общий множитель $k^2$ за скобки: $k^2 + k^3 = k^2(1 + k)$.

3. Подставим полученные выражения в дробь: $\frac{m(k + 1)}{k^2(1 + k)}$.

4. Сократим дробь на общий множитель $(k + 1)$.

$\frac{m\cancel{(k + 1)}}{k^2\cancel{(1 + k)}} = \frac{m}{k^2}$

Ответ: $\frac{m}{k^2}$

в) Упростим дробь $\frac{9ay + 9az}{6axy + 6axz}$.

1. В числителе вынесем за скобки общий множитель $9a$: $9ay + 9az = 9a(y + z)$.

2. В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $6ax$: $6axy + 6axz = 6ax(y + z)$.

3. Запишем дробь с разложенными на множители числителем и знаменателем: $\frac{9a(y + z)}{6ax(y + z)}$.

4. Сократим дробь на общие множители $a$ и $(y + z)$.

$\frac{9\cancel{a}\cancel{(y + z)}}{6\cancel{a}x\cancel{(y + z)}} = \frac{9}{6x}$

5. Сократим числовые коэффициенты 9 и 6 на 3: $\frac{9}{6} = \frac{3}{2}$.

В результате получаем: $\frac{3}{2x}$.

Ответ: $\frac{3}{2x}$

222. a) $\frac{a - b}{xb - xa} = \frac{a - b}{-x(.....)} = $

б) $\frac{1 - n}{n^2 - n} = ...$

в) $\frac{2x - 2y}{4y - 4x} = ...$

а)

Чтобы упростить дробь $\frac{a-b}{xb-xa}$, необходимо разложить знаменатель на множители. В задании предложено вынести за скобки множитель $-x$.

Вынесем $-x$ из выражения $xb-xa$:

$xb-xa = -x \cdot (\frac{xb}{-x} + \frac{-xa}{-x}) = -x(-b+a) = -x(a-b)$.

Таким образом, в скобках, указанных в задании, должно быть выражение $(a-b)$.

Теперь исходное выражение можно переписать и сократить:

$\frac{a-b}{xb-xa} = \frac{a-b}{-x(a-b)}$

Сокращаем числитель и знаменатель на общий множитель $(a-b)$, при условии что $a \neq b$:

$\frac{\cancel{a-b}}{-x(\cancel{a-b})} = \frac{1}{-x} = -\frac{1}{x}$

Ответ: $-\frac{1}{x}$

б)

Чтобы упростить дробь $\frac{1-n}{n^2-n}$, разложим числитель и знаменатель на множители.

В знаменателе $n^2-n$ вынесем общий множитель $n$ за скобки:

$n^2-n = n(n-1)$

В числителе $1-n$ вынесем за скобки $-1$, чтобы получить выражение, похожее на множитель в знаменателе:

$1-n = -(-1+n) = -(n-1)$

Теперь подставим полученные выражения в исходную дробь:

$\frac{1-n}{n^2-n} = \frac{-(n-1)}{n(n-1)}$

Сокращаем дробь на общий множитель $(n-1)$, при условии что $n \neq 1$:

$\frac{-(\cancel{n-1})}{n(\cancel{n-1})} = \frac{-1}{n} = -\frac{1}{n}$

Ответ: $-\frac{1}{n}$

в)

Чтобы упростить дробь $\frac{2x-2y}{4y-4x}$, разложим на множители числитель и знаменатель.

В числителе $2x-2y$ вынесем за скобки общий множитель 2:

$2x-2y = 2(x-y)$

В знаменателе $4y-4x$ вынесем за скобки общий множитель 4:

$4y-4x = 4(y-x)$

Подставим разложенные выражения в дробь:

$\frac{2(x-y)}{4(y-x)}$

Заметим, что множители $(x-y)$ и $(y-x)$ являются противоположными выражениями, то есть $y-x = -(x-y)$. Заменим выражение в знаменателе:

$\frac{2(x-y)}{4(y-x)} = \frac{2(x-y)}{4 \cdot (-(x-y))} = \frac{2(x-y)}{-4(x-y)}$

Теперь сократим дробь на общий множитель $(x-y)$, при условии что $x \neq y$, и на общий числовой делитель 2:

$\frac{2(\cancel{x-y})}{-4(\cancel{x-y})} = \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2}$

Ответ: $-\frac{1}{2}$

223. Вычислите.

а) $\frac{5^{12} + 5^{10}}{5^{10} + 5^{11}} = $

б) $\frac{7^9 + 7^{10}}{7^{11} + 7^9} = $

в) $\frac{2^5 + 2^7}{2^4 + 2^6} = $

а) Чтобы вычислить значение выражения $\frac{5^{12} + 5^{10}}{5^{10} + 5^{11}}$, необходимо вынести за скобки общий множитель с наименьшим показателем степени в числителе и в знаменателе.
В числителе вынесем за скобки $5^{10}$:
$5^{12} + 5^{10} = 5^{10} \cdot 5^2 + 5^{10} \cdot 1 = 5^{10}(5^2 + 1) = 5^{10}(25 + 1) = 5^{10} \cdot 26$.
В знаменателе также вынесем за скобки $5^{10}$:
$5^{10} + 5^{11} = 5^{10} \cdot 1 + 5^{10} \cdot 5^1 = 5^{10}(1 + 5) = 5^{10} \cdot 6$.
Теперь подставим полученные выражения обратно в дробь:
$\frac{5^{10} \cdot 26}{5^{10} \cdot 6}$.
Сократим общий множитель $5^{10}$ и упростим получившуюся дробь:
$\frac{26}{6} = \frac{13}{3}$.
Ответ: $\frac{13}{3}$

б) Решим выражение $\frac{7^9 + 7^{10}}{7^{11} + 7^9}$ аналогичным способом. Вынесем за скобки общий множитель с наименьшим показателем степени, который в данном случае равен $7^9$.
В числителе: $7^9 + 7^{10} = 7^9(1 + 7^1) = 7^9 \cdot 8$.
В знаменателе: $7^{11} + 7^9 = 7^9(7^2 + 1) = 7^9(49 + 1) = 7^9 \cdot 50$.
Получаем дробь:
$\frac{7^9 \cdot 8}{7^9 \cdot 50}$.
Сокращаем на $7^9$ и упрощаем дробь:
$\frac{8}{50} = \frac{4}{25}$.
Ответ: $\frac{4}{25}$

в) Рассмотрим выражение $\frac{2^5 + 2^7}{2^4 + 2^6}$. Вынесем за скобки общий множитель с наименьшим показателем степени в числителе и знаменателе.
В числителе выносим $2^5$:
$2^5 + 2^7 = 2^5(1 + 2^2) = 2^5(1 + 4) = 2^5 \cdot 5$.
В знаменателе выносим $2^4$:
$2^4 + 2^6 = 2^4(1 + 2^2) = 2^4(1 + 4) = 2^4 \cdot 5$.
Подставим в дробь:
$\frac{2^5 \cdot 5}{2^4 \cdot 5}$.
Сократим общий множитель $5$ и воспользуемся свойством степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{2^5}{2^4} = 2^{5-4} = 2^1 = 2$.
Ответ: $2$

224. Вынесите за скобки общий множитель.

а) $x(y + z) + a(z + y) = (\dots)(\dots)$

б) $y(a - 1) - (a - 1) = \dots$

в) $(b - a)^2 - (b - a)(a + b) = \dots$

г) $a(a - y) + (a + y)(a - y) = \dots$

а) В выражении $x(y + z) + a(z + y)$ два слагаемых: $x(y + z)$ и $a(z + y)$. Заметим, что в силу переместительного свойства сложения $y + z = z + y$. Таким образом, оба слагаемых имеют общий множитель $(y + z)$. Вынесем его за скобки. От первого слагаемого останется множитель $x$, а от второго — множитель $a$.

$x(y + z) + a(z + y) = x(y + z) + a(y + z) = (y + z)(x + a)$

Ответ: $(x + a)(y + z)$

б) В выражении $y(a - 1) - (a - 1)$ два члена: уменьшаемое $y(a - 1)$ и вычитаемое $(a - 1)$. Общий множитель здесь — это выражение в скобках $(a - 1)$. Вычитаемое $(a - 1)$ можно представить как $1 \cdot (a - 1)$.

Вынесем общий множитель $(a - 1)$ за скобки. От уменьшаемого останется $y$, а от вычитаемого останется $-1$.

$y(a - 1) - (a - 1) = y(a - 1) - 1 \cdot (a - 1) = (a - 1)(y - 1)$

Ответ: $(a - 1)(y - 1)$

в) Рассмотрим выражение $(b - a)^2 - (b - a)(a + b)$. Первый член $(b - a)^2$ можно записать как $(b - a)(b - a)$. Видно, что общим множителем является $(b - a)$.

Вынесем $(b - a)$ за скобки. От первого члена $(b - a)^2$ останется $(b - a)$, а от второго члена $-(b - a)(a + b)$ останется $-(a + b)$.

$(b - a)^2 - (b - a)(a + b) = (b - a)[(b - a) - (a + b)]$

Теперь упростим выражение во вторых скобках:

$(b - a) - (a + b) = b - a - a - b = -2a$

Таким образом, исходное выражение равно $(b - a)(-2a)$, что обычно записывают как $-2a(b - a)$.

Ответ: $-2a(b - a)$

г) В выражении $a(a - y) + (a + y)(a - y)$ два слагаемых. Легко заметить, что общий множитель — это $(a - y)$.

Вынесем $(a - y)$ за скобки. От первого слагаемого $a(a - y)$ останется $a$, а от второго слагаемого $(a + y)(a - y)$ останется $(a + y)$.

$a(a - y) + (a + y)(a - y) = (a - y)[a + (a + y)]$

Упростим выражение во вторых скобках:

$a + (a + y) = a + a + y = 2a + y$

В результате получаем:

$(a - y)(2a + y)$

Ответ: $(a - y)(2a + y)$