Номер 223, страница 95 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Минаева, Рослова

8. Разложение многочленов на множители - номер 223, страница 95.

Условие.

223. Вычислите.

а) $\frac{5^{12} + 5^{10}}{5^{10} + 5^{11}} = $

б) $\frac{7^9 + 7^{10}}{7^{11} + 7^9} = $

в) $\frac{2^5 + 2^7}{2^4 + 2^6} = $

Решение.

Решение 2.

а) Чтобы вычислить значение выражения $\frac{5^{12} + 5^{10}}{5^{10} + 5^{11}}$, необходимо вынести за скобки общий множитель с наименьшим показателем степени в числителе и в знаменателе.
В числителе вынесем за скобки $5^{10}$:
$5^{12} + 5^{10} = 5^{10} \cdot 5^2 + 5^{10} \cdot 1 = 5^{10}(5^2 + 1) = 5^{10}(25 + 1) = 5^{10} \cdot 26$.
В знаменателе также вынесем за скобки $5^{10}$:
$5^{10} + 5^{11} = 5^{10} \cdot 1 + 5^{10} \cdot 5^1 = 5^{10}(1 + 5) = 5^{10} \cdot 6$.
Теперь подставим полученные выражения обратно в дробь:
$\frac{5^{10} \cdot 26}{5^{10} \cdot 6}$.
Сократим общий множитель $5^{10}$ и упростим получившуюся дробь:
$\frac{26}{6} = \frac{13}{3}$.
Ответ: $\frac{13}{3}$

б) Решим выражение $\frac{7^9 + 7^{10}}{7^{11} + 7^9}$ аналогичным способом. Вынесем за скобки общий множитель с наименьшим показателем степени, который в данном случае равен $7^9$.
В числителе: $7^9 + 7^{10} = 7^9(1 + 7^1) = 7^9 \cdot 8$.
В знаменателе: $7^{11} + 7^9 = 7^9(7^2 + 1) = 7^9(49 + 1) = 7^9 \cdot 50$.
Получаем дробь:
$\frac{7^9 \cdot 8}{7^9 \cdot 50}$.
Сокращаем на $7^9$ и упрощаем дробь:
$\frac{8}{50} = \frac{4}{25}$.
Ответ: $\frac{4}{25}$

в) Рассмотрим выражение $\frac{2^5 + 2^7}{2^4 + 2^6}$. Вынесем за скобки общий множитель с наименьшим показателем степени в числителе и знаменателе.
В числителе выносим $2^5$:
$2^5 + 2^7 = 2^5(1 + 2^2) = 2^5(1 + 4) = 2^5 \cdot 5$.
В знаменателе выносим $2^4$:
$2^4 + 2^6 = 2^4(1 + 2^2) = 2^4(1 + 4) = 2^4 \cdot 5$.
Подставим в дробь:
$\frac{2^5 \cdot 5}{2^4 \cdot 5}$.
Сократим общий множитель $5$ и воспользуемся свойством степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{2^5}{2^4} = 2^{5-4} = 2^1 = 2$.
Ответ: $2$