Номер 219, страница 94 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Минаева, Рослова

8. Разложение многочленов на множители - номер 219, страница 94.

Условие.

219. Докажите, что $8^5 + 2^{11}$ делится на 17.

$8^5 + 2^{11} = (2^3)^5 + 2^{11} = \dots$

Решение.

Решение 2.

Чтобы доказать, что выражение $8^5 + 2^{11}$ делится на 17, необходимо преобразовать его таким образом, чтобы выделить множитель 17.

1. Заметим, что основание 8 можно представить как степень числа 2, поскольку $8 = 2^3$. Подставим это в исходное выражение:

$8^5 + 2^{11} = (2^3)^5 + 2^{11}$

2. Далее используем свойство степеней: при возведении степени в степень их показатели перемножаются, то есть $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

$(2^3)^5 + 2^{11} = 2^{3 \cdot 5} + 2^{11} = 2^{15} + 2^{11}$

3. Теперь у нас есть сумма двух степеней с одинаковым основанием. Мы можем вынести за скобки общий множитель. Общим множителем будет степень с наименьшим показателем, то есть $2^{11}$.

$2^{15} + 2^{11} = 2^{11} \cdot (2^{15-11} + 1) = 2^{11} \cdot (2^4 + 1)$

4. Вычислим значение выражения в скобках:

$2^4 + 1 = 16 + 1 = 17$

5. Таким образом, исходное выражение можно представить в виде произведения:

$8^5 + 2^{11} = 2^{11} \cdot 17$

Поскольку одним из множителей в полученном произведении является число 17, то все произведение делится на 17 без остатка. Это доказывает, что и исходное выражение $8^5 + 2^{11}$ делится на 17.

Ответ: Выражение $8^5 + 2^{11}$ равно $2^{11} \cdot 17$, следовательно, оно делится на 17.