Страница 94 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Минаева, Рослова

216. Подчеркните выражения, равные данному.

а) $ca - cd$

$c(a - d)$

$c(d - a)$

$-c(a - d)$

$-c(d - a)$

б) $5m - 5n$

$-5(-m + n)$

$-5(n - m)$

$5(m - n)$

$5(n - m)$

в) $7ab - 7bc$

$7b(a - c)$

$-7b(a - c)$

$7b(c - a)$

$-7b(c - a)$

а) Исходное выражение: $ca - cd$. Чтобы найти равные ему выражения, преобразуем данное и предложенные выражения, используя правило вынесения общего множителя за скобки и правило раскрытия скобок.

В исходном выражении $ca - cd$ вынесем общий множитель $c$ за скобки: $ca - cd = c(a - d)$.

Теперь проанализируем каждое из предложенных выражений:

• $c(a - d)$: Это выражение очевидно равно исходному. Раскрыв скобки, получаем $ca - cd$.
• $-c(a - d)$: Раскрыв скобки, получаем $-ca + cd$. Это выражение не равно исходному.
• $c(d - a)$: Раскрыв скобки, получаем $cd - ca$. Это выражение не равно исходному (оно противоположно исходному).
• $-c(d - a)$: Раскрыв скобки, получаем $-cd + ca$, что можно записать как $ca - cd$. Это выражение равно исходному. Также можно заметить, что $-c(d - a) = c(-(d - a)) = c(a - d)$.

Ответ: $c(a - d)$, $-c(d - a)$.

б) Исходное выражение: $5m - 5n$. Вынесем общий множитель $5$ за скобки: $5m - 5n = 5(m - n)$.

Теперь проанализируем каждое из предложенных выражений:

• $-5(-m + n)$: Раскроем скобки: $(-5) \cdot (-m) + (-5) \cdot n = 5m - 5n$. Это выражение равно исходному.
• $5(m - n)$: Это выражение очевидно равно исходному. Раскрыв скобки, получаем $5m - 5n$.
• $-5(n - m)$: Раскроем скобки: $(-5) \cdot n - (-5) \cdot m = -5n + 5m = 5m - 5n$. Это выражение равно исходному.
• $5(n - m)$: Раскрыв скобки, получаем $5n - 5m$. Это выражение не равно исходному.

Ответ: $-5(-m + n)$, $5(m - n)$, $-5(n - m)$.

в) Исходное выражение: $7ab - 7bc$. Вынесем общий множитель $7b$ за скобки: $7ab - 7bc = 7b(a - c)$.

Теперь проанализируем каждое из предложенных выражений:

• $7b(a - c)$: Это выражение очевидно равно исходному. Раскрыв скобки, получаем $7b \cdot a - 7b \cdot c = 7ab - 7bc$.
• $7b(c - a)$: Раскрыв скобки, получаем $7b \cdot c - 7b \cdot a = 7bc - 7ab$. Это выражение не равно исходному.
• $-7b(a - c)$: Раскрыв скобки, получаем $-7b \cdot a - (-7b \cdot c) = -7ab + 7bc$. Это выражение не равно исходному.
• $-7b(c - a)$: Раскрыв скобки, получаем $-7b \cdot c - (-7b \cdot a) = -7bc + 7ab = 7ab - 7bc$. Это выражение равно исходному.

Ответ: $7b(a - c)$, $-7b(c - a)$.

217. Вычислите.

а) $4\frac{7}{9} \cdot 5\frac{3}{8} + 4\frac{7}{9} \cdot 3\frac{5}{8} =$

б) $7,3 \cdot 4,75 + 12,7 \cdot 4,75 =$

а) $4\frac{7}{9} \cdot 5\frac{3}{8} + 4\frac{7}{9} \cdot 3\frac{5}{8}$

В этом выражении есть общий множитель $4\frac{7}{9}$. Чтобы упростить вычисления, воспользуемся распределительным свойством умножения и вынесем общий множитель за скобки:

$a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b+c)$

$4\frac{7}{9} \cdot 5\frac{3}{8} + 4\frac{7}{9} \cdot 3\frac{5}{8} = 4\frac{7}{9} \cdot (5\frac{3}{8} + 3\frac{5}{8})$

1. Вычислим сумму в скобках. Сложим целые и дробные части смешанных чисел:

$5\frac{3}{8} + 3\frac{5}{8} = (5 + 3) + (\frac{3}{8} + \frac{5}{8}) = 8 + \frac{3+5}{8} = 8 + \frac{8}{8} = 8 + 1 = 9$

2. Теперь умножим результат на общий множитель $4\frac{7}{9}$. Для этого переведем смешанное число $4\frac{7}{9}$ в неправильную дробь:

$4\frac{7}{9} = \frac{4 \cdot 9 + 7}{9} = \frac{36 + 7}{9} = \frac{43}{9}$

3. Выполним умножение:

$\frac{43}{9} \cdot 9 = \frac{43 \cdot 9}{9} = 43$

Ответ: 43

б) $7,3 \cdot 4,75 + 12,7 \cdot 4,75$

В этом выражении также есть общий множитель, равный $4,75$. Вынесем его за скобки, используя распределительное свойство умножения:

$7,3 \cdot 4,75 + 12,7 \cdot 4,75 = (7,3 + 12,7) \cdot 4,75$

1. Вычислим сумму в скобках:

$7,3 + 12,7 = 20$

2. Теперь умножим полученную сумму на общий множитель:

$20 \cdot 4,75 = 95$

Ответ: 95

218. Докажите, что $69^2 - 69 \cdot 5$ делится на 32.

$69^2 - 69 \cdot 5 = \ldots$

Для того чтобы доказать, что выражение $69^2 - 69 \cdot 5$ делится на 32, преобразуем его. Сначала вынесем общий множитель 69 за скобки:

$69^2 - 69 \cdot 5 = 69 \cdot (69 - 5)$

Теперь выполним действие вычитания в скобках:

$69 - 5 = 64$

Таким образом, исходное выражение равно произведению:

$69 \cdot 64$

Чтобы доказать, что это произведение делится на 32, достаточно показать, что один из множителей делится на 32. Проверим множитель 64:

$\frac{64}{32} = 2$

Поскольку множитель 64 делится на 32 без остатка, то и все произведение $69 \cdot 64$ делится на 32. Для полной уверенности можно вычислить результат деления исходного выражения на 32:

$\frac{69 \cdot 64}{32} = 69 \cdot (\frac{64}{32}) = 69 \cdot 2 = 138$

Так как в результате деления получилось целое число (138), утверждение доказано.

Ответ: Выражение $69^2 - 69 \cdot 5$ можно представить в виде $69 \cdot (69 - 5) = 69 \cdot 64$. Так как один из множителей (64) делится на 32, то и все произведение делится на 32, что и требовалось доказать.

219. Докажите, что $8^5 + 2^{11}$ делится на 17.

$8^5 + 2^{11} = (2^3)^5 + 2^{11} = \dots$

Чтобы доказать, что выражение $8^5 + 2^{11}$ делится на 17, необходимо преобразовать его таким образом, чтобы выделить множитель 17.

1. Заметим, что основание 8 можно представить как степень числа 2, поскольку $8 = 2^3$. Подставим это в исходное выражение:

$8^5 + 2^{11} = (2^3)^5 + 2^{11}$

2. Далее используем свойство степеней: при возведении степени в степень их показатели перемножаются, то есть $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

$(2^3)^5 + 2^{11} = 2^{3 \cdot 5} + 2^{11} = 2^{15} + 2^{11}$

3. Теперь у нас есть сумма двух степеней с одинаковым основанием. Мы можем вынести за скобки общий множитель. Общим множителем будет степень с наименьшим показателем, то есть $2^{11}$.

$2^{15} + 2^{11} = 2^{11} \cdot (2^{15-11} + 1) = 2^{11} \cdot (2^4 + 1)$

4. Вычислим значение выражения в скобках:

$2^4 + 1 = 16 + 1 = 17$

5. Таким образом, исходное выражение можно представить в виде произведения:

$8^5 + 2^{11} = 2^{11} \cdot 17$

Поскольку одним из множителей в полученном произведении является число 17, то все произведение делится на 17 без остатка. Это доказывает, что и исходное выражение $8^5 + 2^{11}$ делится на 17.

Ответ: Выражение $8^5 + 2^{11}$ равно $2^{11} \cdot 17$, следовательно, оно делится на 17.

220. a) $ \frac{mn - mnk}{mn + mnk} = \frac{mn(\ldots)}{mn(\ldots)} $

б) $ \frac{x^3 + 2x^2}{x^2y + x^5} = \ldots $

в) $ \frac{3ax + 9ay}{6a + 12a^3} = \ldots $

a)

Чтобы упростить данное дробное выражение, необходимо вынести общий множитель за скобки в числителе и в знаменателе.

В числителе $mn - mnk$ общим множителем является $mn$. Выносим его за скобки: $mn - mnk = mn(1 - k)$.

В знаменателе $mn + mnk$ общим множителем также является $mn$. Выносим его за скобки: $mn + mnk = mn(1 + k)$.

Подставляем полученные выражения обратно в дробь:

$\frac{mn - mnk}{mn + mnk} = \frac{mn(1 - k)}{mn(1 + k)}$

Теперь можно сократить дробь на общий множитель $mn$ (при условии, что $m \neq 0$ и $n \neq 0$):

$\frac{mn(1 - k)}{mn(1 + k)} = \frac{1 - k}{1 + k}$

Ответ: $\frac{1 - k}{1 + k}$

б)

Для упрощения дроби $\frac{x^3 + 2x^2}{x^2y + x^5}$ найдем и вынесем общие множители в числителе и знаменателе.

В числителе $x^3 + 2x^2$ общим множителем является $x^2$. Выносим его за скобки: $x^3 + 2x^2 = x^2(x + 2)$.

В знаменателе $x^2y + x^5$ общим множителем также является $x^2$. Выносим его за скобки: $x^2y + x^5 = x^2(y + x^3)$.

Запишем дробь с вынесенными множителями:

$\frac{x^2(x + 2)}{x^2(y + x^3)}$

Сократим дробь на общий множитель $x^2$ (при условии, что $x \neq 0$):

$\frac{x + 2}{y + x^3}$

Ответ: $\frac{x + 2}{y + x^3}$

в)

Рассмотрим дробь $\frac{3ax + 9ay}{6a + 12a^3}$ и упростим ее, вынеся общие множители за скобки.

В числителе $3ax + 9ay$ общим множителем является $3a$. Вынесем его: $3ax + 9ay = 3a(x + 3y)$.

В знаменателе $6a + 12a^3$ общим множителем является $6a$. Вынесем его: $6a + 12a^3 = 6a(1 + 2a^2)$.

Подставим полученные выражения в дробь:

$\frac{3a(x + 3y)}{6a(1 + 2a^2)}$

Сократим дробь на общий множитель $3a$ (при условии, что $a \neq 0$). Обратите внимание, что $6a = 2 \cdot 3a$.

$\frac{3a(x + 3y)}{2 \cdot 3a(1 + 2a^2)} = \frac{x + 3y}{2(1 + 2a^2)}$

Ответ: $\frac{x + 3y}{2(1 + 2a^2)}$