Страница 87 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Минаева, Рослова

197. a) $2x - 5$

$\times$

...........

$+\quad 2y^2$...........

..... $-5$

___________

$2x^2 - 3x - 5$

б) $3a^2 - 2$

$\times$

...........

...........

$+$

___________

$6a^4 - 13a^2 + 6$

в) $5y - 3$

$\times$

...........

$+\quad 10y^2$...........

..... $-5y$.....

___________

...........

г) $x + 2$

$\times$

...........

$+\quad -3x^2$...........

...........

___________

..... $+5x$.....

Данная задача представляет собой умножение двух многочленов в столбик. Нам дан один из множителей, $(2x - 5)$, и результат умножения, $2x^2 - 3x - 5$. Необходимо найти второй множитель и заполнить пропуски в вычислениях.

Пусть второй множитель будет $(ax + b)$. Тогда их произведение равно:

$(2x - 5)(ax + b) = 2ax^2 + 2bx - 5ax - 5b = 2ax^2 + (2b - 5a)x - 5b$.

Сравним это выражение с данным результатом $2x^2 - 3x - 5$. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $x$, получаем:

• Коэффициент при $x^2$: $2a = 2 \Rightarrow a = 1$.
• Свободный член: $-5b = -5 \Rightarrow b = 1$.

Проверим коэффициент при $x$: $2b - 5a = 2(1) - 5(1) = 2 - 5 = -3$. Это соответствует результату.

Таким образом, второй множитель равен $(x + 1)$.

Теперь выполним умножение в столбик. Первое неполное произведение (нижняя строка в промежуточных вычислениях) — это результат умножения $(2x - 5)$ на $1$: $1 \cdot (2x - 5) = 2x - 5$. Второе неполное произведение (верхняя строка) — это результат умножения $(2x - 5)$ на $x$: $x \cdot (2x - 5) = 2x^2 - 5x$. В условии во второй строке неполного произведения, вероятно, допущена опечатка ($2y^2$ вместо $2x^2$), так как умножение происходит с переменной $x$.

Восстановленное вычисление выглядит так:

Ответ: Второй множитель: $(x+1)$. Неизвестный множитель в столбике — $(x+1)$. Первое неполное произведение (верхняя строка) — $(2x^2-5x)$. Второе неполное произведение (нижняя строка) — $(2x-5)$.

Дано умножение $(3a^2 - 2)$ на неизвестный многочлен, в результате которого получается $6a^4 - 13a^2 + 6$.

Поскольку в результате присутствуют степени $a^4$ и $a^2$, можно предположить, что второй множитель имеет вид $(ca^2 + d)$.

$(3a^2 - 2)(ca^2 + d) = 3ca^4 + 3da^2 - 2ca^2 - 2d = 3ca^4 + (3d - 2c)a^2 - 2d$.

Сравним с результатом $6a^4 - 13a^2 + 6$:

• Коэффициент при $a^4$: $3c = 6 \Rightarrow c = 2$.
• Свободный член: $-2d = 6 \Rightarrow d = -3$.

Проверим коэффициент при $a^2$: $3d - 2c = 3(-3) - 2(2) = -9 - 4 = -13$. Совпадает.

Второй множитель — $(2a^2 - 3)$.

Заполним пропуски в умножении в столбик. Первое неполное произведение — это результат умножения $(3a^2 - 2)$ на $-3$: $-3 \cdot (3a^2 - 2) = -9a^2 + 6$. Второе неполное произведение — это результат умножения $(3a^2 - 2)$ на $2a^2$: $2a^2 \cdot (3a^2 - 2) = 6a^4 - 4a^2$.

Восстановленное вычисление:

Ответ: Второй множитель: $(2a^2 - 3)$. Первое неполное произведение: $(-9a^2 + 6)$. Второе неполное произведение: $(6a^4 - 4a^2)$.

В этой задаче нужно восстановить второй множитель, неполные произведения и результат умножения для $(5y - 3)$.

Пусть второй множитель — $(ay + b)$.

Первая строка неполного произведения в примере, $10y^2 \dots$, является результатом умножения $(5y - 3)$ на член с $y$, то есть на $ay$: $ay \cdot (5y - 3) = 5ay^2 - 3ay$. Сравнивая $5ay^2$ с $10y^2$, находим $5a = 10$, откуда $a = 2$. Значит, первое неполное произведение равно $2y \cdot (5y - 3) = 10y^2 - 6y$.

Вторая строка неполного произведения, $\dots - 5y \dots$, является результатом умножения $(5y - 3)$ на свободный член $b$: $b \cdot (5y - 3) = 5by - 3b$. Сравнивая член с $y$, $5by$, с данным в строке $-5y$, получаем $5b = -5$, откуда $b = -1$. Значит, второе неполное произведение равно $-1 \cdot (5y - 3) = -5y + 3$.

Таким образом, второй множитель — $(2y - 1)$.

Теперь найдем конечный результат, сложив неполные произведения: $(10y^2 - 6y) + (-5y + 3) = 10y^2 - 11y + 3$.

Восстановленное вычисление:

Ответ: Второй множитель: $(2y-1)$. Первое неполное произведение: $(10y^2-6y)$. Второе неполное произведение: $(-5y+3)$. Результат умножения: $(10y^2-11y+3)$.

В этой задаче дан один множитель $(x+2)$, часть второго неполного произведения и часть итогового ответа. Требуется восстановить всю запись.

Пусть второй множитель — $(ax+b)$.

Второе неполное произведение, данное как $-3x^2 \dots$, соответствует умножению на член с $x$, то есть на $ax$: $ax \cdot (x+2) = ax^2 + 2ax$. Сравнивая $ax^2$ с $-3x^2$, находим $a = -3$. Тогда второе неполное произведение равно $-3x \cdot (x+2) = -3x^2 - 6x$.

Первое неполное произведение соответствует умножению на свободный член $b$: $b \cdot (x+2) = bx + 2b$.

Итоговый результат является суммой двух неполных произведений: $(-3x^2 - 6x) + (bx + 2b) = -3x^2 + (b-6)x + 2b$.

В итоговом результате дан член с $x$: $\dots + 5x \dots$. Сравнивая коэффициент при $x$, получаем $(b-6)x = 5x$, откуда $b-6=5$, то есть $b=11$.

Второй множитель: $(-3x + 11)$.

Первое неполное произведение: $11 \cdot (x+2) = 11x + 22$.

Итоговый результат: $-3x^2 + (11-6)x + 2(11) = -3x^2 + 5x + 22$.

Восстановленное вычисление:

Ответ: Второй множитель: $(-3x+11)$. Первое неполное произведение: $(11x+22)$. Второе неполное произведение: $(-3x^2-6x)$. Результат умножения: $(-3x^2+5x+22)$.

198. a) $(x + y)^2 = \dots + 2xy + \dots$

б) $(2a + 1)^2 = \dots + 4a + \dots$

в) $(5 - c)^2 = \dots - 10c + \dots$

г) $(k - m)^2 = \dots - 2km + \dots$

д) $(x + 1)^2 = \dots + 2 \cdot \dots + \dots$

е) $(y - 3)^2 = \dots - 2 \cdot \dots + \dots$

ж) $(3z + x)^2 = \dots + 2 \cdot \dots + \dots$

з) $(2t + 5p)^2 = \dots + 2 \cdot \dots + \dots$

а) Для раскрытия скобок в выражении $(x + y)^2$ используется формула квадрата суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

В данном случае $a = x$ и $b = y$.

Подставим эти значения в формулу:

$(x + y)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot y + y^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

В исходном выражении $(x + y)^2 = \dots\dots\dots\dots + 2xy + \dots\dots\dots\dots$ пропущены первый и третий члены. Это $x^2$ и $y^2$.

Ответ: $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

б) Для раскрытия скобок в выражении $(2a + 1)^2$ используется формула квадрата суммы: $(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$.

В данном случае $A = 2a$ и $B = 1$.

Найдём каждый член формулы:

Квадрат первого члена: $A^2 = (2a)^2 = 4a^2$.

Удвоенное произведение первого и второго членов: $2AB = 2 \cdot 2a \cdot 1 = 4a$.

Квадрат второго члена: $B^2 = 1^2 = 1$.

Таким образом, $(2a + 1)^2 = 4a^2 + 4a + 1$.

В исходном выражении $(2a + 1)^2 = \dots\dots\dots\dots + 4a + \dots\dots\dots\dots$ пропущены первый и третий члены. Это $4a^2$ и $1$.

Ответ: $(2a + 1)^2 = 4a^2 + 4a + 1$.

в) Для раскрытия скобок в выражении $(5 - c)^2$ используется формула квадрата разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В данном случае $a = 5$ и $b = c$.

Найдём каждый член формулы:

Квадрат первого члена: $a^2 = 5^2 = 25$.

Удвоенное произведение первого и второго членов: $2ab = 2 \cdot 5 \cdot c = 10c$.

Квадрат второго члена: $b^2 = c^2$.

Таким образом, $(5 - c)^2 = 25 - 10c + c^2$.

В исходном выражении $(5 - c)^2 = \dots\dots\dots\dots - 10c + \dots\dots\dots\dots$ пропущены первый и третий члены. Это $25$ и $c^2$.

Ответ: $(5 - c)^2 = 25 - 10c + c^2$.

г) Для раскрытия скобок в выражении $(k - m)^2$ используется формула квадрата разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В данном случае $a = k$ и $b = m$.

Подставим эти значения в формулу:

$(k - m)^2 = k^2 - 2 \cdot k \cdot m + m^2 = k^2 - 2km + m^2$.

В исходном выражении $(k - m)^2 = \dots\dots\dots\dots - 2km + \dots\dots\dots\dots$ пропущены первый и третий члены. Это $k^2$ и $m^2$.

Ответ: $(k - m)^2 = k^2 - 2km + m^2$.

д) Для раскрытия скобок в выражении $(x + 1)^2$ используется формула квадрата суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

В данном случае $a = x$ и $b = 1$.

Подставляем эти значения в формулу и вычисляем каждый член:

Квадрат первого члена: $a^2 = x^2$.

Удвоенное произведение первого и второго членов: $2ab = 2 \cdot x \cdot 1 = 2x$.

Квадрат второго члена: $b^2 = 1^2 = 1$.

Складывая эти члены, получаем итоговый многочлен: $x^2 + 2x + 1$.

Ответ: $(x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1$.

е) Для раскрытия скобок в выражении $(y - 3)^2$ используется формула квадрата разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В данном случае $a = y$ и $b = 3$.

Подставляем эти значения в формулу и вычисляем каждый член:

Квадрат первого члена: $a^2 = y^2$.

Удвоенное произведение первого и второго членов со знаком минус: $-2ab = -2 \cdot y \cdot 3 = -6y$.

Квадрат второго члена: $b^2 = 3^2 = 9$.

Объединяя члены, получаем: $y^2 - 6y + 9$.

Ответ: $(y - 3)^2 = y^2 - 6y + 9$.

ж) Для раскрытия скобок в выражении $(3z + x)^2$ используется формула квадрата суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

В данном случае $a = 3z$ и $b = x$.

Подставляем эти значения в формулу и вычисляем каждый член:

Квадрат первого члена: $a^2 = (3z)^2 = 9z^2$.

Удвоенное произведение первого и второго членов: $2ab = 2 \cdot (3z) \cdot x = 6zx$.

Квадрат второго члена: $b^2 = x^2$.

Складывая эти члены, получаем итоговый многочлен: $9z^2 + 6zx + x^2$.

Ответ: $(3z + x)^2 = 9z^2 + 6zx + x^2$.

з) Для раскрытия скобок в выражении $(2t + 5p)^2$ используется формула квадрата суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

В данном случае $a = 2t$ и $b = 5p$.

Подставляем эти значения в формулу и вычисляем каждый член:

Квадрат первого члена: $a^2 = (2t)^2 = 4t^2$.

Удвоенное произведение первого и второго членов: $2ab = 2 \cdot (2t) \cdot (5p) = 20tp$.

Квадрат второго члена: $b^2 = (5p)^2 = 25p^2$.

Складывая эти члены, получаем итоговый многочлен: $4t^2 + 20tp + 25p^2$.

Ответ: $(2t + 5p)^2 = 4t^2 + 20tp + 25p^2$.