Страница 86 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Минаева, Рослова

194. Упростите.

а) $(x - 1)\left(\frac{1}{x} + 1\right) =$

б) $\left(\frac{a}{b} - 1\right)(a + b) =$

в) $\left(y + \frac{1}{y}\right)\left(y - \frac{1}{y}\right) =$

г) $\left(x - \frac{1}{y}\right)\left(x + \frac{1}{y}\right) =$

а) Чтобы упростить выражение, раскроем скобки, умножив каждый член первого многочлена на каждый член второго. Затем приведем подобные слагаемые.

$(x - 1)(\frac{1}{x} + 1) = x \cdot \frac{1}{x} + x \cdot 1 - 1 \cdot \frac{1}{x} - 1 \cdot 1 = \frac{x}{x} + x - \frac{1}{x} - 1$

Так как при $x \ne 0$ дробь $\frac{x}{x} = 1$, получаем:

$1 + x - \frac{1}{x} - 1 = x - \frac{1}{x}$

Ответ: $x - \frac{1}{x}$

б) Сначала приведем выражение в первой скобке к общему знаменателю $b$.

$(\frac{a}{b} - 1)(a + b) = (\frac{a}{b} - \frac{b}{b})(a + b) = (\frac{a - b}{b})(a + b)$

Теперь умножим полученную дробь на $(a + b)$:

$\frac{a - b}{b} \cdot (a + b) = \frac{(a - b)(a + b)}{b}$

В числителе мы видим формулу сокращенного умножения — разность квадратов: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

Таким образом, итоговое выражение равно:

$\frac{a^2 - b^2}{b}$

Ответ: $\frac{a^2 - b^2}{b}$

в) Это выражение является произведением суммы и разности двух одинаковых выражений. Для его упрощения используем формулу разности квадратов: $(A + B)(A - B) = A^2 - B^2$.

В данном случае $A = y$ и $B = \frac{1}{y}$.

Применяя формулу, получаем:

$(y + \frac{1}{y})(y - \frac{1}{y}) = y^2 - (\frac{1}{y})^2 = y^2 - \frac{1}{y^2}$

Ответ: $y^2 - \frac{1}{y^2}$

г) Это выражение также представляет собой произведение разности и суммы двух выражений. Снова используем формулу разности квадратов: $(A - B)(A + B) = A^2 - B^2$.

Здесь $A = x$ и $B = \frac{1}{y}$.

Подставляем эти значения в формулу:

$(x - \frac{1}{y})(x + \frac{1}{y}) = x^2 - (\frac{1}{y})^2 = x^2 - \frac{1}{y^2}$

Ответ: $x^2 - \frac{1}{y^2}$

195. Представьте степень в виде многочлена.

а) $(x + y)^2 = (x + y)(x + y) = \dots$

б) $(5a + 1)^2 = \dots$

в) $(m - 3)^2 = \dots$

г) $(1 - b)^2 = \dots$

а) Для того чтобы представить степень $(x + y)^2$ в виде многочлена, мы можем либо перемножить скобки $(x+y)$ на $(x+y)$, либо использовать формулу сокращенного умножения для квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. В данном случае $a=x$ и $b=y$.

$(x + y)^2 = (x + y)(x + y) = x \cdot x + x \cdot y + y \cdot x + y \cdot y = x^2 + xy + yx + y^2$.

Приводим подобные члены ($xy$ и $yx$):

$x^2 + 2xy + y^2$.

Ответ: $x^2 + 2xy + y^2$.

б) Используем ту же формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ для выражения $(5a + 1)^2$. Здесь в качестве $a$ выступает $5a$, а в качестве $b$ выступает $1$.

$(5a + 1)^2 = (5a)^2 + 2 \cdot (5a) \cdot 1 + 1^2$.

Выполняем вычисления:

$(5a)^2 = 25a^2$

$2 \cdot 5a \cdot 1 = 10a$

$1^2 = 1$

Собираем многочлен: $25a^2 + 10a + 1$.

Ответ: $25a^2 + 10a + 1$.

в) В этом случае нам нужно представить в виде многочлена степень $(m - 3)^2$. Для этого воспользуемся формулой квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Здесь $a=m$ и $b=3$.

$(m - 3)^2 = m^2 - 2 \cdot m \cdot 3 + 3^2$.

Упрощаем выражение:

$m^2 - 6m + 9$.

Ответ: $m^2 - 6m + 9$.

г) Для выражения $(1 - b)^2$ также применим формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В данном случае $a=1$ и $b=b$.

$(1 - b)^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot b + b^2$.

Выполняем вычисления и получаем многочлен:

$1 - 2b + b^2$.

Ответ: $1 - 2b + b^2$.

196. Выполните умножение.

a) $2y + 1$
$\times$
$y - 2$
----------
$2y^2 - 4y$
$+$
$y - 2$
----------
$2y^2 - 3y - 2$

б) $5b^2 - 3$
$\times$
$b^2 + 1$
----------
.........
$+$
.........
----------
.........

В) $x - 1$
$\times$
$x^2 + 1$
----------
.........
$+$
.........
----------
.........

Г) $x^2 - y$
$\times$
$2y^2 - x$
----------
.........
$+$
.........
----------
.........

а) Чтобы выполнить умножение многочлена $(2y+1)$ на многочлен $(y-2)$, необходимо каждый член первого многочлена умножить на второй многочлен и полученные произведения сложить. Данный метод показан в примере на изображении.

1. Умножаем первый член первого многочлена, $2y$, на второй многочлен, $(y-2)$:

$2y \cdot (y-2) = 2y \cdot y + 2y \cdot (-2) = 2y^2 - 4y$

2. Умножаем второй член первого многочлена, $1$, на второй многочлен, $(y-2)$:

$1 \cdot (y-2) = y - 2$

3. Складываем полученные произведения и приводим подобные члены:

$(2y^2 - 4y) + (y - 2) = 2y^2 - 4y + y - 2 = 2y^2 - 3y - 2$

Ответ: $2y^2 - 3y - 2$

б) Выполним умножение многочлена $(5b^2 - 3)$ на многочлен $(b^2 + 1)$ по тому же принципу.

1. Умножим первый член первого многочлена, $5b^2$, на второй многочлен, $(b^2 + 1)$:

$5b^2 \cdot (b^2 + 1) = 5b^2 \cdot b^2 + 5b^2 \cdot 1 = 5b^4 + 5b^2$

2. Умножим второй член первого многочлена, $-3$, на второй многочлен, $(b^2 + 1)$:

$-3 \cdot (b^2 + 1) = -3 \cdot b^2 - 3 \cdot 1 = -3b^2 - 3$

3. Сложим полученные произведения и приведем подобные члены:

$(5b^4 + 5b^2) + (-3b^2 - 3) = 5b^4 + 5b^2 - 3b^2 - 3 = 5b^4 + 2b^2 - 3$

Ответ: $5b^4 + 2b^2 - 3$

в) Выполним умножение многочлена $(x - 1)$ на многочлен $(x^2 + 1)$.

1. Умножим первый член первого многочлена, $x$, на второй многочлен, $(x^2 + 1)$:

$x \cdot (x^2 + 1) = x \cdot x^2 + x \cdot 1 = x^3 + x$

2. Умножим второй член первого многочлена, $-1$, на второй многочлен, $(x^2 + 1)$:

$-1 \cdot (x^2 + 1) = -1 \cdot x^2 - 1 \cdot 1 = -x^2 - 1$

3. Сложим полученные произведения и расположим члены в порядке убывания степеней $x$:

$(x^3 + x) + (-x^2 - 1) = x^3 + x - x^2 - 1 = x^3 - x^2 + x - 1$

Ответ: $x^3 - x^2 + x - 1$

г) Выполним умножение многочлена $(x^2 - y)$ на многочлен $(2y^2 - x)$.

1. Умножим первый член первого многочлена, $x^2$, на второй многочлен, $(2y^2 - x)$:

$x^2 \cdot (2y^2 - x) = x^2 \cdot 2y^2 + x^2 \cdot (-x) = 2x^2y^2 - x^3$

2. Умножим второй член первого многочлена, $-y$, на второй многочлен, $(2y^2 - x)$:

$-y \cdot (2y^2 - x) = -y \cdot 2y^2 - y \cdot (-x) = -2y^3 + xy$

3. Сложим полученные произведения:

$(2x^2y^2 - x^3) + (-2y^3 + xy) = 2x^2y^2 - x^3 - 2y^3 + xy$

В данном выражении подобных членов нет. Для удобства можно упорядочить члены, например, по убыванию степеней переменной $x$:

$-x^3 + 2x^2y^2 + xy - 2y^3$

Ответ: $-x^3 + 2x^2y^2 + xy - 2y^3$