Номер 194, страница 86 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Минаева, Рослова

7. Многочлены - номер 194, страница 86.

Условие.

194. Упростите.

а) $(x - 1)\left(\frac{1}{x} + 1\right) =$

б) $\left(\frac{a}{b} - 1\right)(a + b) =$

в) $\left(y + \frac{1}{y}\right)\left(y - \frac{1}{y}\right) =$

г) $\left(x - \frac{1}{y}\right)\left(x + \frac{1}{y}\right) =$

Решение.

Решение 2.

а) Чтобы упростить выражение, раскроем скобки, умножив каждый член первого многочлена на каждый член второго. Затем приведем подобные слагаемые.

$(x - 1)(\frac{1}{x} + 1) = x \cdot \frac{1}{x} + x \cdot 1 - 1 \cdot \frac{1}{x} - 1 \cdot 1 = \frac{x}{x} + x - \frac{1}{x} - 1$

Так как при $x \ne 0$ дробь $\frac{x}{x} = 1$, получаем:

$1 + x - \frac{1}{x} - 1 = x - \frac{1}{x}$

Ответ: $x - \frac{1}{x}$

б) Сначала приведем выражение в первой скобке к общему знаменателю $b$.

$(\frac{a}{b} - 1)(a + b) = (\frac{a}{b} - \frac{b}{b})(a + b) = (\frac{a - b}{b})(a + b)$

Теперь умножим полученную дробь на $(a + b)$:

$\frac{a - b}{b} \cdot (a + b) = \frac{(a - b)(a + b)}{b}$

В числителе мы видим формулу сокращенного умножения — разность квадратов: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

Таким образом, итоговое выражение равно:

$\frac{a^2 - b^2}{b}$

Ответ: $\frac{a^2 - b^2}{b}$

в) Это выражение является произведением суммы и разности двух одинаковых выражений. Для его упрощения используем формулу разности квадратов: $(A + B)(A - B) = A^2 - B^2$.

В данном случае $A = y$ и $B = \frac{1}{y}$.

Применяя формулу, получаем:

$(y + \frac{1}{y})(y - \frac{1}{y}) = y^2 - (\frac{1}{y})^2 = y^2 - \frac{1}{y^2}$

Ответ: $y^2 - \frac{1}{y^2}$

г) Это выражение также представляет собой произведение разности и суммы двух выражений. Снова используем формулу разности квадратов: $(A - B)(A + B) = A^2 - B^2$.

Здесь $A = x$ и $B = \frac{1}{y}$.

Подставляем эти значения в формулу:

$(x - \frac{1}{y})(x + \frac{1}{y}) = x^2 - (\frac{1}{y})^2 = x^2 - \frac{1}{y^2}$

Ответ: $x^2 - \frac{1}{y^2}$