Номер 197, страница 87 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Минаева, Рослова

7. Многочлены - номер 197, страница 87.

Условие.

197. a) $2x - 5$

$\times$

...........

$+\quad 2y^2$...........

..... $-5$

___________

$2x^2 - 3x - 5$

б) $3a^2 - 2$

$\times$

...........

...........

$+$

___________

$6a^4 - 13a^2 + 6$

в) $5y - 3$

$\times$

...........

$+\quad 10y^2$...........

..... $-5y$.....

___________

...........

г) $x + 2$

$\times$

...........

$+\quad -3x^2$...........

...........

___________

..... $+5x$.....

Решение.

Решение 2.

a)

Данная задача представляет собой умножение двух многочленов в столбик. Нам дан один из множителей, $(2x - 5)$, и результат умножения, $2x^2 - 3x - 5$. Необходимо найти второй множитель и заполнить пропуски в вычислениях.

Пусть второй множитель будет $(ax + b)$. Тогда их произведение равно:

$(2x - 5)(ax + b) = 2ax^2 + 2bx - 5ax - 5b = 2ax^2 + (2b - 5a)x - 5b$.

Сравним это выражение с данным результатом $2x^2 - 3x - 5$. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $x$, получаем:

• Коэффициент при $x^2$: $2a = 2 \Rightarrow a = 1$.
• Свободный член: $-5b = -5 \Rightarrow b = 1$.

Проверим коэффициент при $x$: $2b - 5a = 2(1) - 5(1) = 2 - 5 = -3$. Это соответствует результату.

Таким образом, второй множитель равен $(x + 1)$.

Теперь выполним умножение в столбик. Первое неполное произведение (нижняя строка в промежуточных вычислениях) — это результат умножения $(2x - 5)$ на $1$: $1 \cdot (2x - 5) = 2x - 5$. Второе неполное произведение (верхняя строка) — это результат умножения $(2x - 5)$ на $x$: $x \cdot (2x - 5) = 2x^2 - 5x$. В условии во второй строке неполного произведения, вероятно, допущена опечатка ($2y^2$ вместо $2x^2$), так как умножение происходит с переменной $x$.

Восстановленное вычисление выглядит так:

$$ \begin{array}{@{}crrr} & & & 2x & -5 \\ \times & & & x & +1 \\ \hline & & & 2x & -5 \\ \text{+} & & 2x^2 & -5x & \\ \hline & & 2x^2 & -3x & -5 \\ \end{array} $$

Ответ: Второй множитель: $(x+1)$. Неизвестный множитель в столбике — $(x+1)$. Первое неполное произведение (верхняя строка) — $(2x^2-5x)$. Второе неполное произведение (нижняя строка) — $(2x-5)$.

б)

Дано умножение $(3a^2 - 2)$ на неизвестный многочлен, в результате которого получается $6a^4 - 13a^2 + 6$.

Поскольку в результате присутствуют степени $a^4$ и $a^2$, можно предположить, что второй множитель имеет вид $(ca^2 + d)$.

$(3a^2 - 2)(ca^2 + d) = 3ca^4 + 3da^2 - 2ca^2 - 2d = 3ca^4 + (3d - 2c)a^2 - 2d$.

Сравним с результатом $6a^4 - 13a^2 + 6$:

• Коэффициент при $a^4$: $3c = 6 \Rightarrow c = 2$.
• Свободный член: $-2d = 6 \Rightarrow d = -3$.

Проверим коэффициент при $a^2$: $3d - 2c = 3(-3) - 2(2) = -9 - 4 = -13$. Совпадает.

Второй множитель — $(2a^2 - 3)$.

Заполним пропуски в умножении в столбик. Первое неполное произведение — это результат умножения $(3a^2 - 2)$ на $-3$: $-3 \cdot (3a^2 - 2) = -9a^2 + 6$. Второе неполное произведение — это результат умножения $(3a^2 - 2)$ на $2a^2$: $2a^2 \cdot (3a^2 - 2) = 6a^4 - 4a^2$.

Восстановленное вычисление:

$$ \begin{array}{@{}crrr} & & & 3a^2 & -2 \\ \times & & & 2a^2 & -3 \\ \hline & & & -9a^2 & +6 \\ \text{+} & & 6a^4 & -4a^2 & \\ \hline & & 6a^4 & -13a^2 & +6 \\ \end{array} $$

Ответ: Второй множитель: $(2a^2 - 3)$. Первое неполное произведение: $(-9a^2 + 6)$. Второе неполное произведение: $(6a^4 - 4a^2)$.

в)

В этой задаче нужно восстановить второй множитель, неполные произведения и результат умножения для $(5y - 3)$.

Пусть второй множитель — $(ay + b)$.

Первая строка неполного произведения в примере, $10y^2 \dots$, является результатом умножения $(5y - 3)$ на член с $y$, то есть на $ay$: $ay \cdot (5y - 3) = 5ay^2 - 3ay$. Сравнивая $5ay^2$ с $10y^2$, находим $5a = 10$, откуда $a = 2$. Значит, первое неполное произведение равно $2y \cdot (5y - 3) = 10y^2 - 6y$.

Вторая строка неполного произведения, $\dots - 5y \dots$, является результатом умножения $(5y - 3)$ на свободный член $b$: $b \cdot (5y - 3) = 5by - 3b$. Сравнивая член с $y$, $5by$, с данным в строке $-5y$, получаем $5b = -5$, откуда $b = -1$. Значит, второе неполное произведение равно $-1 \cdot (5y - 3) = -5y + 3$.

Таким образом, второй множитель — $(2y - 1)$.

Теперь найдем конечный результат, сложив неполные произведения: $(10y^2 - 6y) + (-5y + 3) = 10y^2 - 11y + 3$.

Восстановленное вычисление:

$$ \begin{array}{@{}crrr} & & & 5y & -3 \\ \times & & & 2y & -1 \\ \hline & & 10y^2 & -6y & \\ \text{+} & & & -5y & +3 \\ \hline & & 10y^2 & -11y & +3 \\ \end{array} $$

Ответ: Второй множитель: $(2y-1)$. Первое неполное произведение: $(10y^2-6y)$. Второе неполное произведение: $(-5y+3)$. Результат умножения: $(10y^2-11y+3)$.

г)

В этой задаче дан один множитель $(x+2)$, часть второго неполного произведения и часть итогового ответа. Требуется восстановить всю запись.

Пусть второй множитель — $(ax+b)$.

Второе неполное произведение, данное как $-3x^2 \dots$, соответствует умножению на член с $x$, то есть на $ax$: $ax \cdot (x+2) = ax^2 + 2ax$. Сравнивая $ax^2$ с $-3x^2$, находим $a = -3$. Тогда второе неполное произведение равно $-3x \cdot (x+2) = -3x^2 - 6x$.

Первое неполное произведение соответствует умножению на свободный член $b$: $b \cdot (x+2) = bx + 2b$.

Итоговый результат является суммой двух неполных произведений: $(-3x^2 - 6x) + (bx + 2b) = -3x^2 + (b-6)x + 2b$.

В итоговом результате дан член с $x$: $\dots + 5x \dots$. Сравнивая коэффициент при $x$, получаем $(b-6)x = 5x$, откуда $b-6=5$, то есть $b=11$.

Второй множитель: $(-3x + 11)$.

Первое неполное произведение: $11 \cdot (x+2) = 11x + 22$.

Итоговый результат: $-3x^2 + (11-6)x + 2(11) = -3x^2 + 5x + 22$.

Восстановленное вычисление:

$$ \begin{array}{@{}crrr} & & & x & +2 \\ \times & & & -3x & +11 \\ \hline & & & 11x & +22 \\ \text{+} & & -3x^2 & -6x & \\ \hline & & -3x^2 & +5x & +22 \\ \end{array} $$

Ответ: Второй множитель: $(-3x+11)$. Первое неполное произведение: $(11x+22)$. Второе неполное произведение: $(-3x^2-6x)$. Результат умножения: $(-3x^2+5x+22)$.