Номер 204, страница 89 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Минаева, Рослова

7. Многочлены - номер 204, страница 89.

Условие.

204. Представьте трехчлен в виде квадрата двучлена.

Образец: $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$; $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$.

а) $y^2 + 2yx + x^2 = (y + \text{.......})^2$

б) $y^2 + 2y + 1 = (\text{.......} + 1)^2$

в) $x^2 - 2x + 1 = \text{................}$

г) $a^2 + 10a + 25 = \text{................}$

д) $m^2 + 6mn + 9n^2 = \text{................}$

е) $4t^2 - 4t + 1 = \text{................}$

ж) $9b^2 + 12b + 4 = \text{................}$

з) $25k^2 - 30km + 9m^2 = \text{................}$

Решение.

Решение 2.

а) Для того чтобы представить трехчлен $y^2 + 2yx + x^2$ в виде квадрата двучлена, воспользуемся формулой квадрата суммы: $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$. В данном выражении первый член $a^2 = y^2$, значит $a = y$. Третий член $b^2 = x^2$, значит $b = x$. Проверим средний член: он должен быть равен удвоенному произведению первого и второго членов, то есть $2ab = 2 \cdot y \cdot x = 2yx$. Все слагаемые соответствуют формуле. Таким образом, выражение является полным квадратом суммы $y$ и $x$. Ответ: $y^2 + 2yx + x^2 = (y + x)^2$.

б) Рассмотрим трехчлен $y^2 + 2y + 1$. Применим формулу квадрата суммы $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$. Здесь первый член $a^2 = y^2$, следовательно, $a = y$. Третий член $b^2 = 1$, следовательно, $b = 1$. Средний член равен $2ab = 2 \cdot y \cdot 1 = 2y$. Выражение полностью соответствует формуле. Значит, это квадрат суммы $y$ и $1$. Ответ: $y^2 + 2y + 1 = (y + 1)^2$.

в) Для выражения $x^2 - 2x + 1$ используем формулу квадрата разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$. В этом случае первый член $a^2 = x^2$, значит $a = x$. Третий член $b^2 = 1$, значит $b = 1$. Проверим средний член: он должен быть равен $-2ab = -2 \cdot x \cdot 1 = -2x$. Формула применима. Следовательно, это квадрат разности $x$ и $1$. Ответ: $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$.

г) Трехчлен $a^2 + 10a + 25$ можно представить в виде квадрата двучлена с помощью формулы квадрата суммы $A^2 + 2AB + B^2 = (A + B)^2$. Здесь первый член $A^2 = a^2$, то есть $A=a$. Третий член $B^2 = 25$, то есть $B=5$. Средний член $2AB = 2 \cdot a \cdot 5 = 10a$. Условия формулы выполняются. Таким образом, это квадрат суммы $a$ и $5$. Ответ: $a^2 + 10a + 25 = (a + 5)^2$.

д) Рассмотрим выражение $m^2 + 6mn + 9n^2$. Используем формулу квадрата суммы $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$. Здесь первый член $a^2 = m^2$, значит $a = m$. Третий член $b^2 = 9n^2 = (3n)^2$, значит $b = 3n$. Проверим второй (средний) член: $2ab = 2 \cdot m \cdot (3n) = 6mn$. Выражение соответствует формуле. Следовательно, это квадрат суммы $m$ и $3n$. Ответ: $m^2 + 6mn + 9n^2 = (m + 3n)^2$.

е) Для трехчлена $4t^2 - 4t + 1$ применим формулу квадрата разности $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$. В данном случае первый член $a^2 = 4t^2 = (2t)^2$, значит $a = 2t$. Третий член $b^2 = 1$, значит $b = 1$. Проверяем средний член: $-2ab = -2 \cdot (2t) \cdot 1 = -4t$. Так как все условия соблюдены, получаем квадрат разности $2t$ и $1$. Ответ: $4t^2 - 4t + 1 = (2t - 1)^2$.

ж) Представим выражение $9b^2 + 12b + 4$ в виде квадрата двучлена по формуле квадрата суммы $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$. Первый член $a^2 = 9b^2 = (3b)^2$, отсюда $a = 3b$. Третий член $b^2 = 4 = 2^2$, отсюда $b = 2$. Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot (3b) \cdot 2 = 12b$. Выражение является полным квадратом суммы $3b$ и $2$. Ответ: $9b^2 + 12b + 4 = (3b + 2)^2$.

з) Для выражения $25k^2 - 30km + 9m^2$ используем формулу квадрата разности $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$. Первый член $a^2 = 25k^2 = (5k)^2$, значит $a = 5k$. Третий член $b^2 = 9m^2 = (3m)^2$, значит $b = 3m$. Проверяем средний член: $-2ab = -2 \cdot (5k) \cdot (3m) = -30km$. Выражение соответствует формуле. Следовательно, это квадрат разности $5k$ и $3m$. Ответ: $25k^2 - 30km + 9m^2 = (5k - 3m)^2$.