Номер 203, страница 89 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Минаева, Рослова

7. Многочлены - номер 203, страница 89.

Условие.

203. Заполните пропуски так, чтобы трехчлен был равен квадрату двучлена.

а) $x^2 + 2x + \dots$

б) $y^2 - 4y + \dots$

в) $9k^2 + 6k + \dots$

г) $16c^2 - 24ca + \dots$

д) $\dots + 2xy + y^2$

е) $\dots + 14b + 1$

ж) $\dots - 16mn + n^2$

з) $\dots - 20tp + 4t^2$

Решение.

Решение 2.

Для того чтобы трехчлен был равен квадрату двучлена, необходимо дополнить его до полного квадрата, используя формулы сокращенного умножения:

• Квадрат суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• Квадрат разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

а) В выражении $x^2 + 2x + \dots$ первый член $a^2 = x^2$, следовательно, $a=x$. Удвоенное произведение первого и второго членов равно $2ab = 2x$. Подставив $a=x$, получаем $2 \cdot x \cdot b = 2x$, откуда второй член $b=1$. Недостающий третий член — это квадрат второго члена, то есть $b^2 = 1^2 = 1$. Полный трехчлен: $x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$.
Ответ: 1

б) В выражении $y^2 - 4y + \dots$ первый член $a^2 = y^2$, значит $a=y$. Удвоенное произведение $2ab = 4y$. Подставляем $a=y$: $2 \cdot y \cdot b = 4y$, откуда $b=2$. Недостающий член — это $b^2 = 2^2 = 4$. Трехчлен принимает вид $y^2 - 4y + 4$, что является квадратом разности $(y-2)^2$.
Ответ: 4

в) В выражении $9k^2 + 6k + \dots$ первый член $a^2 = 9k^2$, значит $a=3k$. Удвоенное произведение $2ab = 6k$. Подставляем $a=3k$: $2 \cdot (3k) \cdot b = 6k$, или $6kb = 6k$, откуда $b=1$. Недостающий член — это $b^2 = 1^2 = 1$. Получаем трехчлен $9k^2 + 6k + 1 = (3k+1)^2$.
Ответ: 1

г) В выражении $16c^2 - 24ca + \dots$ первый член $a^2 = 16c^2$, откуда $a=4c$. Удвоенное произведение $2ab = 24ca$. Подставляем $a=4c$: $2 \cdot (4c) \cdot b = 24ca$, или $8cb = 24ca$. Разделив обе части на $8c$, получим $b=3a$. Недостающий член — это $b^2 = (3a)^2 = 9a^2$. Полный трехчлен: $16c^2 - 24ca + 9a^2 = (4c-3a)^2$.
Ответ: $9a^2$

д) В выражении $\dots + 2xy + y^2$ нам известен второй член $b^2 = y^2$, значит $b=y$. Удвоенное произведение $2ab = 2xy$. Подставляем $b=y$: $2 \cdot a \cdot y = 2xy$, откуда $a=x$. Недостающий член — это квадрат первого члена $a^2 = x^2$. Полный трехчлен: $x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2$.
Ответ: $x^2$

е) В выражении $\dots + 14b + 1$ нам известен второй член, который является квадратом, $Y^2 = 1$ (используем $X, Y$, чтобы не путать с переменной $b$), значит $Y=1$. Удвоенное произведение $2XY = 14b$. Подставляя $Y=1$, получаем $2 \cdot X \cdot 1 = 14b$, откуда $X=7b$. Недостающий член — это квадрат первого члена $X^2 = (7b)^2 = 49b^2$. Полный трехчлен: $49b^2 + 14b + 1 = (7b+1)^2$.
Ответ: $49b^2$

ж) В выражении $\dots - 16mn + n^2$ нам известен второй член $b^2 = n^2$, откуда $b=n$. Удвоенное произведение $2ab = 16mn$. Подставляя $b=n$: $2 \cdot a \cdot n = 16mn$. Разделив обе части на $2n$, получим $a=8m$. Недостающий член — это $a^2 = (8m)^2 = 64m^2$. Полный трехчлен: $64m^2 - 16mn + n^2 = (8m-n)^2$.
Ответ: $64m^2$

з) В выражении $\dots - 20tp + 4t^2$ нам известен член $b^2 = 4t^2$, откуда $b=2t$. Удвоенное произведение $2ab = 20tp$. Подставляя $b=2t$: $2 \cdot a \cdot (2t) = 20tp$, или $4at = 20tp$. Разделив обе части на $4t$, получим $a=5p$. Недостающий член — это $a^2 = (5p)^2 = 25p^2$. Полный трехчлен: $25p^2 - 20tp + 4t^2 = (5p-2t)^2$.
Ответ: $25p^2$