Страница 89 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Минаева, Рослова

203. Заполните пропуски так, чтобы трехчлен был равен квадрату двучлена.

а) $x^2 + 2x + \dots$

б) $y^2 - 4y + \dots$

в) $9k^2 + 6k + \dots$

г) $16c^2 - 24ca + \dots$

д) $\dots + 2xy + y^2$

е) $\dots + 14b + 1$

ж) $\dots - 16mn + n^2$

з) $\dots - 20tp + 4t^2$

Для того чтобы трехчлен был равен квадрату двучлена, необходимо дополнить его до полного квадрата, используя формулы сокращенного умножения:

• Квадрат суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• Квадрат разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

а) В выражении $x^2 + 2x + \dots$ первый член $a^2 = x^2$, следовательно, $a=x$. Удвоенное произведение первого и второго членов равно $2ab = 2x$. Подставив $a=x$, получаем $2 \cdot x \cdot b = 2x$, откуда второй член $b=1$. Недостающий третий член — это квадрат второго члена, то есть $b^2 = 1^2 = 1$. Полный трехчлен: $x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$.
Ответ: 1

б) В выражении $y^2 - 4y + \dots$ первый член $a^2 = y^2$, значит $a=y$. Удвоенное произведение $2ab = 4y$. Подставляем $a=y$: $2 \cdot y \cdot b = 4y$, откуда $b=2$. Недостающий член — это $b^2 = 2^2 = 4$. Трехчлен принимает вид $y^2 - 4y + 4$, что является квадратом разности $(y-2)^2$.
Ответ: 4

в) В выражении $9k^2 + 6k + \dots$ первый член $a^2 = 9k^2$, значит $a=3k$. Удвоенное произведение $2ab = 6k$. Подставляем $a=3k$: $2 \cdot (3k) \cdot b = 6k$, или $6kb = 6k$, откуда $b=1$. Недостающий член — это $b^2 = 1^2 = 1$. Получаем трехчлен $9k^2 + 6k + 1 = (3k+1)^2$.
Ответ: 1

г) В выражении $16c^2 - 24ca + \dots$ первый член $a^2 = 16c^2$, откуда $a=4c$. Удвоенное произведение $2ab = 24ca$. Подставляем $a=4c$: $2 \cdot (4c) \cdot b = 24ca$, или $8cb = 24ca$. Разделив обе части на $8c$, получим $b=3a$. Недостающий член — это $b^2 = (3a)^2 = 9a^2$. Полный трехчлен: $16c^2 - 24ca + 9a^2 = (4c-3a)^2$.
Ответ: $9a^2$

д) В выражении $\dots + 2xy + y^2$ нам известен второй член $b^2 = y^2$, значит $b=y$. Удвоенное произведение $2ab = 2xy$. Подставляем $b=y$: $2 \cdot a \cdot y = 2xy$, откуда $a=x$. Недостающий член — это квадрат первого члена $a^2 = x^2$. Полный трехчлен: $x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2$.
Ответ: $x^2$

е) В выражении $\dots + 14b + 1$ нам известен второй член, который является квадратом, $Y^2 = 1$ (используем $X, Y$, чтобы не путать с переменной $b$), значит $Y=1$. Удвоенное произведение $2XY = 14b$. Подставляя $Y=1$, получаем $2 \cdot X \cdot 1 = 14b$, откуда $X=7b$. Недостающий член — это квадрат первого члена $X^2 = (7b)^2 = 49b^2$. Полный трехчлен: $49b^2 + 14b + 1 = (7b+1)^2$.
Ответ: $49b^2$

ж) В выражении $\dots - 16mn + n^2$ нам известен второй член $b^2 = n^2$, откуда $b=n$. Удвоенное произведение $2ab = 16mn$. Подставляя $b=n$: $2 \cdot a \cdot n = 16mn$. Разделив обе части на $2n$, получим $a=8m$. Недостающий член — это $a^2 = (8m)^2 = 64m^2$. Полный трехчлен: $64m^2 - 16mn + n^2 = (8m-n)^2$.
Ответ: $64m^2$

з) В выражении $\dots - 20tp + 4t^2$ нам известен член $b^2 = 4t^2$, откуда $b=2t$. Удвоенное произведение $2ab = 20tp$. Подставляя $b=2t$: $2 \cdot a \cdot (2t) = 20tp$, или $4at = 20tp$. Разделив обе части на $4t$, получим $a=5p$. Недостающий член — это $a^2 = (5p)^2 = 25p^2$. Полный трехчлен: $25p^2 - 20tp + 4t^2 = (5p-2t)^2$.
Ответ: $25p^2$

204. Представьте трехчлен в виде квадрата двучлена.

Образец: $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$; $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$.

а) $y^2 + 2yx + x^2 = (y + \text{.......})^2$

б) $y^2 + 2y + 1 = (\text{.......} + 1)^2$

в) $x^2 - 2x + 1 = \text{................}$

г) $a^2 + 10a + 25 = \text{................}$

д) $m^2 + 6mn + 9n^2 = \text{................}$

е) $4t^2 - 4t + 1 = \text{................}$

ж) $9b^2 + 12b + 4 = \text{................}$

з) $25k^2 - 30km + 9m^2 = \text{................}$

а) Для того чтобы представить трехчлен $y^2 + 2yx + x^2$ в виде квадрата двучлена, воспользуемся формулой квадрата суммы: $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$. В данном выражении первый член $a^2 = y^2$, значит $a = y$. Третий член $b^2 = x^2$, значит $b = x$. Проверим средний член: он должен быть равен удвоенному произведению первого и второго членов, то есть $2ab = 2 \cdot y \cdot x = 2yx$. Все слагаемые соответствуют формуле. Таким образом, выражение является полным квадратом суммы $y$ и $x$. Ответ: $y^2 + 2yx + x^2 = (y + x)^2$.

б) Рассмотрим трехчлен $y^2 + 2y + 1$. Применим формулу квадрата суммы $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$. Здесь первый член $a^2 = y^2$, следовательно, $a = y$. Третий член $b^2 = 1$, следовательно, $b = 1$. Средний член равен $2ab = 2 \cdot y \cdot 1 = 2y$. Выражение полностью соответствует формуле. Значит, это квадрат суммы $y$ и $1$. Ответ: $y^2 + 2y + 1 = (y + 1)^2$.

в) Для выражения $x^2 - 2x + 1$ используем формулу квадрата разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$. В этом случае первый член $a^2 = x^2$, значит $a = x$. Третий член $b^2 = 1$, значит $b = 1$. Проверим средний член: он должен быть равен $-2ab = -2 \cdot x \cdot 1 = -2x$. Формула применима. Следовательно, это квадрат разности $x$ и $1$. Ответ: $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$.

г) Трехчлен $a^2 + 10a + 25$ можно представить в виде квадрата двучлена с помощью формулы квадрата суммы $A^2 + 2AB + B^2 = (A + B)^2$. Здесь первый член $A^2 = a^2$, то есть $A=a$. Третий член $B^2 = 25$, то есть $B=5$. Средний член $2AB = 2 \cdot a \cdot 5 = 10a$. Условия формулы выполняются. Таким образом, это квадрат суммы $a$ и $5$. Ответ: $a^2 + 10a + 25 = (a + 5)^2$.

д) Рассмотрим выражение $m^2 + 6mn + 9n^2$. Используем формулу квадрата суммы $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$. Здесь первый член $a^2 = m^2$, значит $a = m$. Третий член $b^2 = 9n^2 = (3n)^2$, значит $b = 3n$. Проверим второй (средний) член: $2ab = 2 \cdot m \cdot (3n) = 6mn$. Выражение соответствует формуле. Следовательно, это квадрат суммы $m$ и $3n$. Ответ: $m^2 + 6mn + 9n^2 = (m + 3n)^2$.

е) Для трехчлена $4t^2 - 4t + 1$ применим формулу квадрата разности $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$. В данном случае первый член $a^2 = 4t^2 = (2t)^2$, значит $a = 2t$. Третий член $b^2 = 1$, значит $b = 1$. Проверяем средний член: $-2ab = -2 \cdot (2t) \cdot 1 = -4t$. Так как все условия соблюдены, получаем квадрат разности $2t$ и $1$. Ответ: $4t^2 - 4t + 1 = (2t - 1)^2$.

ж) Представим выражение $9b^2 + 12b + 4$ в виде квадрата двучлена по формуле квадрата суммы $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$. Первый член $a^2 = 9b^2 = (3b)^2$, отсюда $a = 3b$. Третий член $b^2 = 4 = 2^2$, отсюда $b = 2$. Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot (3b) \cdot 2 = 12b$. Выражение является полным квадратом суммы $3b$ и $2$. Ответ: $9b^2 + 12b + 4 = (3b + 2)^2$.

з) Для выражения $25k^2 - 30km + 9m^2$ используем формулу квадрата разности $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$. Первый член $a^2 = 25k^2 = (5k)^2$, значит $a = 5k$. Третий член $b^2 = 9m^2 = (3m)^2$, значит $b = 3m$. Проверяем средний член: $-2ab = -2 \cdot (5k) \cdot (3m) = -30km$. Выражение соответствует формуле. Следовательно, это квадрат разности $5k$ и $3m$. Ответ: $25k^2 - 30km + 9m^2 = (5k - 3m)^2$.

205. Подберите шесть различных двучленов так, чтобы трехчлен, равный квадрату двучлена, содержал 12xy.

$ (............)^2 = ............ + 12xy + ............$

$ (............)^2 = ............ + 12xy + ............$

$ (............)^2 = ............ + 12xy + ............$

$ (............)^2 = ............ + 12xy + ............$

$ (............)^2 = ............ + 12xy + ............$

$ (............)^2 = ............ + 12xy + ............$

Задача состоит в том, чтобы найти шесть различных двучленов, квадрат которых является трехчленом, содержащим слагаемое $12xy$. Общий вид такого равенства: $(\dots)^2 = \dots + 12xy + \dots$.

Воспользуемся формулой квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Средний член $2ab$ в разложении должен быть равен $12xy$. Отсюда получаем условие для членов двучлена $a$ и $b$: $2ab = 12xy$
$ab = 6xy$

Таким образом, задача сводится к нахождению шести различных пар одночленов $a$ и $b$, произведение которых равно $6xy$. Для каждой пары мы составим двучлен $(a+b)$ и возведем его в квадрат.

1. Пусть $a = x$ и $b = 6y$. Их произведение $a \cdot b = x \cdot 6y = 6xy$.
Двучлен: $(x + 6y)$.
Возводим его в квадрат: $(x + 6y)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 6y + (6y)^2 = x^2 + 12xy + 36y^2$.
Ответ: $(x + 6y)^2 = x^2 + 12xy + 36y^2$.

2. Пусть $a = 2x$ и $b = 3y$. Их произведение $a \cdot b = 2x \cdot 3y = 6xy$.
Двучлен: $(2x + 3y)$.
Возводим его в квадрат: $(2x + 3y)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 3y + (3y)^2 = 4x^2 + 12xy + 9y^2$.
Ответ: $(2x + 3y)^2 = 4x^2 + 12xy + 9y^2$.

3. Пусть $a = 3x$ и $b = 2y$. Их произведение $a \cdot b = 3x \cdot 2y = 6xy$.
Двучлен: $(3x + 2y)$.
Возводим его в квадрат: $(3x + 2y)^2 = (3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot 2y + (2y)^2 = 9x^2 + 12xy + 4y^2$.
Ответ: $(3x + 2y)^2 = 9x^2 + 12xy + 4y^2$.

4. Пусть $a = 6x$ и $b = y$. Их произведение $a \cdot b = 6x \cdot y = 6xy$.
Двучлен: $(6x + y)$.
Возводим его в квадрат: $(6x + y)^2 = (6x)^2 + 2 \cdot 6x \cdot y + (y)^2 = 36x^2 + 12xy + y^2$.
Ответ: $(6x + y)^2 = 36x^2 + 12xy + y^2$.

5. Пусть $a = 1$ и $b = 6xy$. Их произведение $a \cdot b = 1 \cdot 6xy = 6xy$.
Двучлен: $(1 + 6xy)$.
Возводим его в квадрат: $(1 + 6xy)^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot 6xy + (6xy)^2 = 1 + 12xy + 36x^2y^2$.
Ответ: $(1 + 6xy)^2 = 1 + 12xy + 36x^2y^2$.

6. Пусть $a = 2$ и $b = 3xy$. Их произведение $a \cdot b = 2 \cdot 3xy = 6xy$.
Двучлен: $(2 + 3xy)$.
Возводим его в квадрат: $(2 + 3xy)^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot 3xy + (3xy)^2 = 4 + 12xy + 9x^2y^2$.
Ответ: $(2 + 3xy)^2 = 4 + 12xy + 9x^2y^2$.