Страница 90 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Минаева, Рослова

206. Составьте выражение для вычисления площади заштрихованной части квадрата.

a) $S = (a+b)^2 - a^2$

б) $S = (a+b)^2 - 4ab$

в) $S = 2a(a+b) - 2a^2$

г) $S = (a+b)^2 - 2ab$

а)

Площадь заштрихованной части можно найти, вычтя площадь малого незаштрихованного квадрата из площади большого квадрата.

Сторона большого квадрата состоит из двух отрезков длиной $a$ и $b$, поэтому его сторона равна $a+b$.

Площадь большого квадрата: $S_{большого} = (a+b)^2$.

Незаштрихованная часть — это квадрат со стороной $a$. Его площадь: $S_{малого} = a^2$.

Площадь заштрихованной части $S$ равна разности их площадей:

$S = S_{большого} - S_{малого} = (a+b)^2 - a^2$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$S = (a^2 + 2ab + b^2) - a^2 = 2ab + b^2$

Ответ: $S = 2ab + b^2$

б)

Большой квадрат имеет сторону, равную $a+b$, и его общая площадь составляет $S_{большого} = (a+b)^2$.

Незаштрихованная область состоит из четырёх одинаковых прямоугольников со сторонами $a$ и $b$.

Площадь одного такого прямоугольника равна $ab$.

Суммарная площадь четырёх незаштрихованных прямоугольников: $S_{незаштр.} = 4ab$.

Площадь заштрихованной части $S$ (внутреннего квадрата) равна разности площади большого квадрата и суммарной площади четырёх прямоугольников:

$S = S_{большого} - S_{незаштр.} = (a+b)^2 - 4ab$

Упростим выражение, используя формулу квадрата суммы:

$S = (a^2 + 2ab + b^2) - 4ab = a^2 - 2ab + b^2$

Это выражение является формулой квадрата разности: $S = (a-b)^2$.

Ответ: $S = (a-b)^2$

в)

Внешняя фигура представляет собой квадрат со стороной $a+b$. Его общая площадь равна $S_{большого} = (a+b)^2$.

Незаштрихованная область состоит из двух одинаковых квадратов со стороной $a$. Один расположен в левом нижнем углу, другой — в правом верхнем.

Площадь одного малого квадрата равна $a^2$.

Суммарная площадь двух незаштрихованных квадратов: $S_{незаштр.} = 2a^2$.

Площадь заштрихованной части $S$ находится как разность площади большого квадрата и суммарной площади двух малых квадратов:

$S = S_{большого} - S_{незаштр.} = (a+b)^2 - 2a^2$

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

$S = (a^2 + 2ab + b^2) - 2a^2 = b^2 + 2ab - a^2$

Ответ: $S = b^2 + 2ab - a^2$

г)

Сторона большого квадрата равна $a+b$, а его площадь составляет $S_{большого} = (a+b)^2$.

Заштрихованная фигура — это квадрат, расположенный внутри большого квадрата. Незаштрихованная область состоит из четырёх одинаковых прямоугольных треугольников по углам.

Катеты каждого треугольника равны $a$ и $b$.

Площадь одного такого треугольника вычисляется по формуле: $S_{треуг.} = \frac{1}{2}ab$.

Суммарная площадь четырёх незаштрихованных треугольников: $S_{незаштр.} = 4 \times S_{треуг.} = 4 \times \frac{1}{2}ab = 2ab$.

Площадь заштрихованного квадрата $S$ можно найти, вычтя из площади большого квадрата суммарную площадь четырёх треугольников:

$S = S_{большого} - S_{незаштр.} = (a+b)^2 - 2ab$

Упростим полученное выражение:

$S = (a^2 + 2ab + b^2) - 2ab = a^2 + b^2$

(Этот результат также следует из теоремы Пифагора, где площадь заштрихованного квадрата равна сумме квадратов катетов $a$ и $b$).

Ответ: $S = a^2 + b^2$

207. Выделите квадрат двучлена.

а) $x^2 + 10x + 10 =$

$ = x^2 + 2 \cdot 5x + 25 - 25 + 10 = (x + ..........)^2 - ................$

б) $4y^2 - 4y + 5 = ......................$

в) $t^2 - 6t = ......$

г) $k^2 + k - \frac{3}{4} = ...$

а) Чтобы выделить квадрат двучлена в выражении $x^2 + 10x + 10$, воспользуемся формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. В данном выражении $a^2$ соответствует $x^2$, значит $a=x$. Слагаемое $10x$ является удвоенным произведением $2ab$, то есть $2 \cdot x \cdot b = 10x$, откуда находим $b=5$. Для полного квадрата нам необходим член $b^2 = 5^2 = 25$. Чтобы не изменить значение выражения, добавим и вычтем 25:
$x^2 + 10x + 10 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 5 + 25 - 25 + 10$.
Сгруппируем первые три слагаемых, которые образуют квадрат суммы, и вычислим оставшуюся часть:
$(x^2 + 10x + 25) - 25 + 10 = (x+5)^2 - 15$.
Ответ: $(x+5)^2 - 15$.

б) Рассмотрим выражение $4y^2 - 4y + 5$. Здесь мы можем использовать формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Слагаемое $4y^2$ можно представить как $(2y)^2$, поэтому возьмем $a=2y$. Тогда удвоенное произведение $2ab$ будет равно $2 \cdot (2y) \cdot b = 4yb$. В исходном выражении этому соответствует член $4y$, значит $b=1$. Для полного квадрата нам нужен член $b^2 = 1^2 = 1$. Добавим и вычтем 1:
$4y^2 - 4y + 5 = (4y^2 - 4y + 1) - 1 + 5$.
Первые три слагаемых сворачиваются в квадрат разности, а оставшиеся числа складываются:
$(2y-1)^2 + 4$.
Ответ: $(2y-1)^2 + 4$.

в) В выражении $t^2 - 6t$ выделим квадрат двучлена по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Здесь $a^2$ соответствует $t^2$, значит $a=t$. Удвоенное произведение $2ab$ равно $6t$, то есть $2 \cdot t \cdot b = 6t$, откуда $b=3$. Для полного квадрата нам необходимо слагаемое $b^2 = 3^2 = 9$. Добавим и вычтем 9:
$t^2 - 6t = t^2 - 6t + 9 - 9$.
Сгруппируем первые три члена:
$(t^2 - 6t + 9) - 9 = (t-3)^2 - 9$.
Ответ: $(t-3)^2 - 9$.

г) Рассмотрим выражение $k^2 + k - \frac{3}{4}$. Для выделения полного квадрата используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Здесь $a^2$ соответствует $k^2$, значит $a=k$. Удвоенное произведение $2ab$ равно $k$, то есть $2 \cdot k \cdot b = k$, откуда $b=\frac{1}{2}$. Для полного квадрата нам необходимо слагаемое $b^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$. Добавим и вычтем $\frac{1}{4}$:
$k^2 + k - \frac{3}{4} = k^2 + k + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} - \frac{3}{4}$.
Сгруппируем первые три члена и упростим оставшуюся часть:
$(k^2 + k + \frac{1}{4}) - (\frac{1}{4} + \frac{3}{4}) = (k+\frac{1}{2})^2 - \frac{4}{4} = (k+\frac{1}{2})^2 - 1$.
Ответ: $(k+\frac{1}{2})^2 - 1$.