Страница 92 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Минаева, Рослова

209. Представьте одночлен в виде произведения двух одночленов, один из которых $3ab$.

а) $15ab^2 = 3ab \cdot \ldots$

б) $-9ab = 3ab \cdot \ldots$

в) $6a^3b^2 = \ldots \cdot \ldots$

г) $-3ab^4 = \ldots \cdot \ldots$

а) Чтобы представить одночлен $15ab^2$ в виде произведения двух одночленов, один из которых равен $3ab$, необходимо найти второй множитель. Для этого разделим данный одночлен на известный множитель:

$X = \frac{15ab^2}{3ab}$

Разделим числовые коэффициенты: $15 \div 3 = 5$.

Разделим переменные части: $\frac{ab^2}{ab} = a^{1-1}b^{2-1} = a^0b^1 = b$.

Таким образом, второй множитель равен $5b$.

Запишем и проверим результат:

$3ab \cdot 5b = (3 \cdot 5) \cdot a \cdot (b \cdot b) = 15ab^2$.

Ответ: $15ab^2 = 3ab \cdot 5b$.

б) Чтобы представить одночлен $-9ab$ в виде произведения, где один из множителей $3ab$, разделим $-9ab$ на $3ab$:

$X = \frac{-9ab}{3ab}$

Разделим числовые коэффициенты: $-9 \div 3 = -3$.

Разделим переменные части: $\frac{ab}{ab} = 1$.

Следовательно, второй множитель равен $-3$.

Запишем и проверим результат:

$3ab \cdot (-3) = (3 \cdot -3)ab = -9ab$.

Ответ: $-9ab = 3ab \cdot (-3)$.

в) Представим одночлен $6a^3b^2$ в виде произведения с множителем $3ab$. Найдем второй множитель, выполнив деление:

$X = \frac{6a^3b^2}{3ab}$

Разделим числовые коэффициенты: $6 \div 3 = 2$.

Разделим переменные части: $\frac{a^3b^2}{ab} = a^{3-1}b^{2-1} = a^2b$.

Второй множитель равен $2a^2b$.

Запишем и проверим результат:

$3ab \cdot 2a^2b = (3 \cdot 2) \cdot (a \cdot a^2) \cdot (b \cdot b) = 6a^3b^2$.

Ответ: $6a^3b^2 = 3ab \cdot 2a^2b$.

г) Представим одночлен $-3ab^4$ в виде произведения с множителем $3ab$. Найдем второй множитель делением:

$X = \frac{-3ab^4}{3ab}$

Разделим числовые коэффициенты: $-3 \div 3 = -1$.

Разделим переменные части: $\frac{ab^4}{ab} = a^{1-1}b^{4-1} = a^0b^3 = b^3$.

Второй множитель равен $-1 \cdot b^3 = -b^3$.

Запишем и проверим результат:

$3ab \cdot (-b^3) = -3 \cdot a \cdot (b \cdot b^3) = -3ab^4$.

Ответ: $-3ab^4 = 3ab \cdot (-b^3)$.

210. Впишите в произведение недостающий множитель.

а) $7ab^2 = 7b \cdot \ldots$

б) $-m^2n^3 = mn^2 \cdot \ldots$

в) $9p^5q = 3pq \cdot \ldots$

г) $-30abc^4 = -10ac^3 \cdot \ldots$

а) Чтобы найти недостающий множитель, необходимо разделить произведение ($7ab^2$) на известный множитель ($7b$). Обозначим искомый множитель как $x$.
$x = \frac{7ab^2}{7b}$
Для нахождения $x$ разделим коэффициенты и переменные по отдельности.
Деление коэффициентов: $\frac{7}{7} = 1$.
Деление переменных: $\frac{a}{1} = a$ и $\frac{b^2}{b} = b^{2-1} = b$.
Собираем результат: $x = 1 \cdot a \cdot b = ab$.
Проверим: $7b \cdot ab = 7ab^2$.
Ответ: $ab$.

б) Чтобы найти недостающий множитель, необходимо разделить произведение ($-m^2n^3$) на известный множитель ($mn^2$). Обозначим искомый множитель как $x$.
$x = \frac{-m^2n^3}{mn^2}$
Разделим коэффициенты: $\frac{-1}{1} = -1$.
Разделим переменные: $\frac{m^2}{m} = m^{2-1} = m$ и $\frac{n^3}{n^2} = n^{3-2} = n$.
Собираем результат: $x = -1 \cdot m \cdot n = -mn$.
Проверим: $mn^2 \cdot (-mn) = -m^2n^3$.
Ответ: $-mn$.

в) Чтобы найти недостающий множитель, необходимо разделить произведение ($9p^5q$) на известный множитель ($3pq$). Обозначим искомый множитель как $x$.
$x = \frac{9p^5q}{3pq}$
Разделим коэффициенты: $\frac{9}{3} = 3$.
Разделим переменные: $\frac{p^5}{p} = p^{5-1} = p^4$ и $\frac{q}{q} = q^{1-1} = q^0 = 1$.
Собираем результат: $x = 3 \cdot p^4 \cdot 1 = 3p^4$.
Проверим: $3pq \cdot 3p^4 = 9p^5q$.
Ответ: $3p^4$.

г) Чтобы найти недостающий множитель, необходимо разделить произведение ($-30abc^4$) на известный множитель ($-10ac^3$). Обозначим искомый множитель как $x$.
$x = \frac{-30abc^4}{-10ac^3}$
Разделим коэффициенты: $\frac{-30}{-10} = 3$.
Разделим переменные: $\frac{a}{a} = a^{1-1} = a^0 = 1$, $\frac{b}{1} = b$ и $\frac{c^4}{c^3} = c^{4-3} = c$.
Собираем результат: $x = 3 \cdot 1 \cdot b \cdot c = 3bc$.
Проверим: $-10ac^3 \cdot 3bc = -30abc^4$.
Ответ: $3bc$.

211. Подчеркните одночлены, являющиеся общими множителями для одночленов $12x^3y^4$ и $16x^2y^5$.

$2x^2$, $4y^4$, $xy$, $x^3y^5$, $4x^2y^4$.

Чтобы определить, является ли предложенный одночлен общим множителем для одночленов $12x^3y^4$ и $16x^2y^5$, нужно проверить, делится ли каждый из этих двух одночленов на предложенный одночлен без остатка. Деление одночленов возможно, если выполняются два условия:

1. Коэффициент делимого делится нацело на коэффициент делителя.

2. Степень каждой переменной в делимом больше или равна степени той же переменной в делителе.

Проверим каждый из предложенных одночленов.

$2x^2$

Проверим, является ли $2x^2$ множителем для $12x^3y^4$:
Коэффициенты: $12 \div 2 = 6$.
Степень $x$: $3 \ge 2$.
Степень $y$: $4 \ge 0$ (в делителе $y^0=1$).
Деление возможно: $12x^3y^4 \div 2x^2 = 6xy^4$.
Проверим, является ли $2x^2$ множителем для $16x^2y^5$:
Коэффициенты: $16 \div 2 = 8$.
Степень $x$: $2 \ge 2$.
Степень $y$: $5 \ge 0$.
Деление возможно: $16x^2y^5 \div 2x^2 = 8y^5$.
Так как $2x^2$ является множителем для обоих одночленов, это общий множитель.

Ответ: $2x^2$.

$4y^4$

Проверим, является ли $4y^4$ множителем для $12x^3y^4$:
Коэффициенты: $12 \div 4 = 3$.
Степень $x$: $3 \ge 0$ (в делителе $x^0=1$).
Степень $y$: $4 \ge 4$.
Деление возможно: $12x^3y^4 \div 4y^4 = 3x^3$.
Проверим, является ли $4y^4$ множителем для $16x^2y^5$:
Коэффициенты: $16 \div 4 = 4$.
Степень $x$: $2 \ge 0$.
Степень $y$: $5 \ge 4$.
Деление возможно: $16x^2y^5 \div 4y^4 = 4x^2y$.
Так как $4y^4$ является множителем для обоих одночленов, это общий множитель.

Ответ: $4y^4$.

$xy$

Проверим, является ли $xy$ (коэффициент $1$) множителем для $12x^3y^4$:
Коэффициенты: $12 \div 1 = 12$.
Степень $x$: $3 \ge 1$.
Степень $y$: $4 \ge 1$.
Деление возможно: $12x^3y^4 \div xy = 12x^2y^3$.
Проверим, является ли $xy$ множителем для $16x^2y^5$:
Коэффициенты: $16 \div 1 = 16$.
Степень $x$: $2 \ge 1$.
Степень $y$: $5 \ge 1$.
Деление возможно: $16x^2y^5 \div xy = 16xy^4$.
Так как $xy$ является множителем для обоих одночленов, это общий множитель.

Ответ: $xy$.

$x^3y^5$

Проверим, является ли $x^3y^5$ множителем для $12x^3y^4$:
Степень переменной $y$ в делителе ($5$) больше, чем степень $y$ в делимом ($4$). Так как $5 > 4$, деление нацело невозможно.
Поскольку $x^3y^5$ не является множителем для первого одночлена, он не может быть общим множителем.

Ответ: $x^3y^5$.

$4x^2y^4$

Проверим, является ли $4x^2y^4$ множителем для $12x^3y^4$:
Коэффициенты: $12 \div 4 = 3$.
Степень $x$: $3 \ge 2$.
Степень $y$: $4 \ge 4$.
Деление возможно: $12x^3y^4 \div 4x^2y^4 = 3x$.
Проверим, является ли $4x^2y^4$ множителем для $16x^2y^5$:
Коэффициенты: $16 \div 4 = 4$.
Степень $x$: $2 \ge 2$.
Степень $y$: $5 \ge 4$.
Деление возможно: $16x^2y^5 \div 4x^2y^4 = 4y$.
Так как $4x^2y^4$ является множителем для обоих одночленов, это общий множитель.

Ответ: $4x^2y^4$.

212. Дополните запись после вынесения общего множителя за скобки.

а) $cb + c^2 = c(\ldots \ldots)$

б) $abc - b = b(\ldots \ldots)$

в) $a^3 - 3a^2b = a^2(\ldots \ldots)$

г) $12m^3 - 9mn = 3m(\ldots \ldots)$

д) $-4ab + 8bc = -4b(\ldots \ldots)$

е) $-mn^2 - m^3n = -mn(\ldots \ldots)$

а) В выражении $cb + c^2$ оба слагаемых, $cb$ и $c^2$ (что равно $c \cdot c$), содержат общий множитель $c$. Чтобы вынести его за скобки, необходимо каждое слагаемое разделить на этот общий множитель.
Делим первое слагаемое: $cb : c = b$.
Делим второе слагаемое: $c^2 : c = c$.
Результаты деления записываем в скобках: $c(b + c)$.
Ответ: $cb + c^2 = c(b+c)$

б) В выражении $abc - b$ общий множитель для обоих членов ($abc$ и $-b$) — это $b$. Выносим $b$ за скобки.
Делим первый член: $abc : b = ac$.
Делим второй член: $-b : b = -1$. Важно помнить, что если выносимый множитель полностью совпадает с одним из членов выражения, на его месте в скобках остается 1 (или -1, в зависимости от знака).
Получаем: $b(ac - 1)$.
Ответ: $abc - b = b(ac - 1)$

в) В выражении $a^3 - 3a^2b$ выносим за скобки $a^2$. Для этого находим наибольшую общую степень переменной $a$ в обоих членах. Это $a^2$, так как $a^3 = a^2 \cdot a$.
Делим первый член на $a^2$: $a^3 : a^2 = a^{(3-2)} = a$.
Делим второй член на $a^2$: $-3a^2b : a^2 = -3b$.
Записываем результат: $a^2(a - 3b)$.
Ответ: $a^3 - 3a^2b = a^2(a - 3b)$

г) В выражении $12m^3 - 9mn$ находим общий множитель. Для числовых коэффициентов 12 и 9 наибольший общий делитель (НОД) равен 3. Для переменных $m^3$ и $mn$ общим множителем является $m$. Таким образом, за скобки выносим $3m$.
Делим каждый член на $3m$:
$12m^3 : (3m) = (12:3) \cdot (m^3:m) = 4m^2$.
$-9mn : (3m) = (-9:3) \cdot (mn:m) = -3n$.
Получаем выражение: $3m(4m^2 - 3n)$.
Ответ: $12m^3 - 9mn = 3m(4m^2 - 3n)$

д) В выражении $-4ab + 8bc$ требуется вынести за скобки $-4b$.
Делим первый член на $-4b$: $-4ab : (-4b) = a$.
Делим второй член на $-4b$: $8bc : (-4b) = (8:(-4)) \cdot (bc:b) = -2c$. При делении положительного члена $8bc$ на отрицательный $-4b$ знак в скобках меняется на минус.
В результате получаем: $-4b(a - 2c)$.
Ответ: $-4ab + 8bc = -4b(a - 2c)$

е) В выражении $-mn^2 - m^3n$ выносим за скобки общий множитель $-mn$.
Делим первый член на $-mn$: $-mn^2 : (-mn) = n$. При делении отрицательного на отрицательное получается положительное число.
Делим второй член на $-mn$: $-m^3n : (-mn) = m^{(3-1)} = m^2$. Здесь также знак меняется на плюс.
Следовательно, выражение в скобках будет $n + m^2$.
Ответ: $-mn^2 - m^3n = -mn(n + m^2)$