Страница 97 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Минаева, Рослова

227. Подчеркните запись, в которой группировка одночленов подходит для разложения многочлена на множители. Закончите разложение на множители.

a) $cd + 2b + bd + 2c =$

$(cd + bd) + (2b + 2c) \quad (2b + cd) + (2c + bd)$

$= \text{..............}$

б) $x + ay + ax + y =$

$(ax + y) + (ay + x) \quad (ax + ay) + (x + y)$

а) $cd + 2b + bd + 2c =$ $(cd + bd) + (2b + 2c)$ $(2b + cd) + (2c + bd)$

Для разложения многочлена на множители используется метод группировки. Необходимо сгруппировать члены многочлена так, чтобы в каждой группе можно было вынести общий множитель, и в результате этого появился общий множитель для всего выражения.

Правильной является первая группировка $(cd + bd) + (2b + 2c)$.

• В первой скобке $(cd + bd)$ общий множитель $d$. Выносим его: $d(c+b)$.
• Во второй скобке $(2b + 2c)$ общий множитель $2$. Выносим его: $2(b+c)$.

В результате получаем выражение $d(c+b) + 2(b+c)$. Так как от перемены мест слагаемых сумма не меняется ($c+b = b+c$), мы видим общий множитель $(b+c)$.

Вторая группировка $(2b + cd) + (2c + bd)$ не подходит, так как ни в первой, ни во второй скобке нет общих множителей, которые можно было бы вынести.

Закончим разложение на множители:

$cd + 2b + bd + 2c = (cd + bd) + (2b + 2c) = d(c+b) + 2(b+c) = (b+c)(d+2)$.

Ответ: $(b+c)(d+2)$.

б) $x + ay + ax + y =$ $(ax + y) + (ay + x)$ $(ax + ay) + (x + y)$

Правильной является вторая группировка $(ax + ay) + (x + y)$.

• В первой скобке $(ax + ay)$ можно вынести за скобки общий множитель $a$, получив $a(x+y)$.
• Вторая скобка $(x+y)$ уже является множителем.

Выражение принимает вид $a(x+y) + (x+y)$. Мы получили общий множитель $(x+y)$.

Первая группировка $(ax + y) + (ay + x)$ не подходит, так как в скобках нет общих множителей.

Закончим разложение на множители:

$x + ay + ax + y = (ax + ay) + (x + y) = a(x+y) + 1 \cdot (x+y) = (a+1)(x+y)$.

Ответ: $(a+1)(x+y)$.

228. a) $ab + 3c + cd + 3a = \dots$

б) $10x + ab + 10a + bx =$

а) $ab + 3c + cd + 3a$

Чтобы разложить данный многочлен на множители, применяется метод группировки. Однако, в исходном виде выражение не удается факторизовать этим методом. Например, при группировке $(ab + 3a) + (cd + 3c)$ получается $a(b+3) + c(d+3)$, где нет общего множителя для дальнейшего упрощения.

Вероятно, в условии задачи допущена опечатка. Наиболее вероятная правка, позволяющая решить задачу, — это замена слагаемого $cd$ на $cb$. В этом случае выражение принимает вид $ab + 3c + cb + 3a$. Решим исправленный вариант.

Переставим слагаемые для удобства группировки:

$ab + cb + 3a + 3c$

Сгруппируем их попарно:

$(ab + cb) + (3a + 3c)$

Вынесем общий множитель за скобки в каждой группе. В первой группе это $b$, во второй — $3$.

$b(a+c) + 3(a+c)$

Теперь мы видим общий для обоих слагаемых множитель $(a+c)$, который также можно вынести за скобки:

$(b+3)(a+c)$

Ответ: $(a+c)(b+3)$

б) $10x + ab + 10a + bx$

Для разложения этого многочлена на множители используем метод группировки. Переставим слагаемые так, чтобы в каждой паре был общий множитель:

$10x + bx + 10a + ab$

Сгруппируем слагаемые попарно:

$(10x + bx) + (10a + ab)$

Вынесем общий множитель за скобки в каждой из групп. В первой группе это $x$, во второй — $a$.

$x(10+b) + a(10+b)$

Получившиеся слагаемые имеют общий множитель $(10+b)$. Вынесем его за скобки:

$(x+a)(10+b)$

Ответ: $(x+a)(10+b)$

229. a) $2c + 2b - xc - xb = (2c + 2b) - (xc + xb) = ...$

б) $3x + 3y - ax - ay = ...$

в) $mn + kn - 5m - 5k = ...$

а) Для разложения многочлена $2c + 2b - xc - xb$ на множители воспользуемся методом группировки. Сгруппируем первые два слагаемых и последние два слагаемых. Обратим внимание, что у последних двух слагаемых общий знак "минус", который мы вынесем за скобки, изменив при этом знаки слагаемых в скобках на противоположные.

$2c + 2b - xc - xb = (2c + 2b) - (xc + xb)$

Теперь из каждой группы вынесем общий множитель за скобки. В первой группе общий множитель — это $2$, а во второй — $x$.

$2(c + b) - x(c + b)$

Мы получили разность двух произведений, у которых есть общий множитель — выражение в скобках $(c + b)$. Вынесем этот общий множитель за скобки.

$(c + b)(2 - x)$

Ответ: $(c + b)(2 - x)$

б) Разложим на множители многочлен $3x + 3y - ax - ay$. Сгруппируем слагаемые: первые два и последние два. При группировке последних двух членов вынесем минус за скобки.

$3x + 3y - ax - ay = (3x + 3y) - (ax + ay)$

Вынесем общий множитель из каждой скобки. Для первой скобки это $3$, для второй — $a$.

$3(x + y) - a(x + y)$

Теперь общим множителем является выражение в скобках $(x + y)$. Вынесем его за скобки, чтобы завершить разложение.

$(x + y)(3 - a)$

Ответ: $(x + y)(3 - a)$

в) Разложим на множители многочлен $mn + kn - 5m - 5k$. Применим метод группировки. Сгруппируем первый член со вторым, а третий с четвертым.

$mn + kn - 5m - 5k = (mn + kn) - (5m + 5k)$

В первой группе вынесем за скобки общий множитель $n$. Во второй группе вынесем за скобки общий множитель $5$.

$n(m + k) - 5(m + k)$

Теперь видно, что у обоих слагаемых есть общий множитель $(m + k)$. Вынесем его за скобки.

$(m + k)(n - 5)$

Ответ: $(m + k)(n - 5)$

230. a) $4a - bc - ab + 4c = $

...............

б) $x - ay - ax + y = ...$

а) Чтобы разложить на множители выражение $4a - bc - ab + 4c$, необходимо сгруппировать слагаемые, имеющие общие множители. Сгруппируем первое слагаемое с третьим, а второе с четвертым: $(4a - ab) + (4c - bc)$.

В первой группе вынесем за скобки общий множитель $a$: $a(4 - b)$.

Во второй группе вынесем за скобки общий множитель $c$: $c(4 - b)$.

Теперь выражение имеет вид: $a(4 - b) + c(4 - b)$.

Мы видим, что у обоих слагаемых есть общий множитель — это скобка $(4 - b)$. Вынесем его за скобки:

$(4 - b)(a + c)$.

Таким образом, разложение исходного выражения на множители завершено.

Ответ: $(a + c)(4 - b)$.

б) Чтобы разложить на множители выражение $x - ay - ax + y$, применим метод группировки. Переставим слагаемые для удобства: $x - ax + y - ay$. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:

$(x - ax) + (y - ay)$.

В первой группе вынесем за скобки общий множитель $x$: $x(1 - a)$.

Во второй группе вынесем за скобки общий множитель $y$: $y(1 - a)$.

Теперь выражение выглядит так: $x(1 - a) + y(1 - a)$.

Общим множителем для обоих слагаемых является скобка $(1 - a)$. Вынесем ее за скобки:

$(1 - a)(x + y)$.

Это и есть итоговое разложение на множители.

Ответ: $(x + y)(1 - a)$.

231. Запишите формулу разности квадратов.

Формула разности квадратов — это одна из формул сокращённого умножения, которая утверждает, что разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений на их сумму.

Если взять два любых выражения, обозначенных как $a$ и $b$, то формула будет выглядеть следующим образом:

$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$

Доказательство формулы

Чтобы доказать это тождество, достаточно раскрыть скобки в правой части равенства, перемножив два двучлена:

$(a - b)(a + b) = a \cdot a + a \cdot b - b \cdot a - b \cdot b$

Выполним умножение и упростим выражение:

$a^2 + ab - ab - b^2$

Слагаемые $ab$ и $-ab$ являются противоположными, поэтому их сумма равна нулю, и они взаимно уничтожаются:

$a^2 + 0 - b^2 = a^2 - b^2$

Таким образом, мы видим, что правая часть тождества $(a - b)(a + b)$ действительно равна левой части $a^2 - b^2$, что и доказывает верность формулы.

Ответ: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$