Страница 98 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Минаева, Рослова

232. Подчеркните выражения, которые можно упростить, используя формулу разности квадратов.

$(n + 1)(n - 1)$ $(m - 3k)(m + 3k)$

$(x^2 - y)(y^2 - x)$ $(xy - z)(xy - z)$

$(a^3 - b)(a^3 + b)$ $(5 + d^2)(d^2 - 5)$

Формула разности квадратов имеет вид: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$. Чтобы упростить выражение с помощью этой формулы, оно должно представлять собой произведение суммы двух одночленов на их разность. Проанализируем каждое из предложенных выражений. Выражения, которые можно упростить, подчеркнуты.

$(n + 1)(n - 1)$

Это выражение полностью соответствует формуле разности квадратов, где $a = n$ и $b = 1$. Это произведение суммы $n$ и $1$ на их разность.

Применяя формулу, получаем: $(n + 1)(n - 1) = n^2 - 1^2 = n^2 - 1$.

Ответ: можно упростить.

$(m - 3k)(m + 3k)$

Это выражение также соответствует формуле разности квадратов. Здесь $a = m$ и $b = 3k$. Мы видим произведение разности $m$ и $3k$ на их сумму.

Упростим выражение: $(m - 3k)(m + 3k) = m^2 - (3k)^2 = m^2 - 9k^2$.

Ответ: можно упростить.

$(x^2 - y)(y^2 - x)$

Это выражение не подходит под формулу разности квадратов. В первом множителе у нас разность $x^2$ и $y$, а во втором — разность $y^2$ и $x$. Для применения формулы $(a - b)(a + b)$ необходимо, чтобы первые и вторые слагаемые в скобках были одинаковыми. Здесь это условие не выполняется (в общем случае $x^2 \neq y^2$ и $y \neq x$).

Ответ: нельзя упростить по формуле разности квадратов.

$(xy - z)(xy - z)$

Это выражение представляет собой произведение двух одинаковых множителей, что является квадратом разности: $(xy - z)^2$. Для его упрощения используется другая формула сокращенного умножения: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Формула разности квадратов $(a - b)(a + b)$ здесь неприменима, так как второй множитель не является суммой $(xy + z)$.

Ответ: нельзя упростить по формуле разности квадратов.

$(a^3 - b)(a^3 + b)$

Данное выражение является классическим примером применения формулы разности квадратов. Здесь в качестве $a$ выступает $a^3$, а в качестве $b$ — $b$. Это произведение разности двух выражений на их сумму.

Упрощение выглядит так: $(a^3 - b)(a^3 + b) = (a^3)^2 - b^2 = a^6 - b^2$.

Ответ: можно упростить.

$(5 + d^2)(d^2 - 5)$

В этом выражении можно поменять слагаемые в первой скобке местами, так как сложение коммутативно: $(5 + d^2) = (d^2 + 5)$. Тогда выражение принимает вид $(d^2 + 5)(d^2 - 5)$, что полностью соответствует формуле разности квадратов при $a = d^2$ и $b = 5$.

Упростим: $(d^2 + 5)(d^2 - 5) = (d^2)^2 - 5^2 = d^4 - 25$.

Ответ: можно упростить.

233. Упростите выражение.

а) $(3ab + 1)(3ab - 1) = \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots$

б) $(a^2 + c^2)(c^2 - a^2) = \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots$

в) $(a - x)(a + x)(a^2 + x^2) = (\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots)(\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots) = \ldots\ldots$

г) $(c + 1)(c - 1)(1 + c^2) = \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots = \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots$

а) Данное выражение является произведением суммы и разности двух выражений. Для его упрощения применим формулу сокращенного умножения "разность квадратов": $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$.
В нашем случае $x = 3ab$ и $y = 1$.
Подставим эти значения в формулу:
$(3ab + 1)(3ab - 1) = (3ab)^2 - 1^2 = 9a^2b^2 - 1$.
Ответ: $9a^2b^2 - 1$.

б) В выражении $(a^2 + c^2)(c^2 - a^2)$ поменяем местами слагаемые в первой скобке, от этого сумма не изменится: $(c^2 + a^2)(c^2 - a^2)$.
Теперь мы можем применить формулу разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$, где $x = c^2$ и $y = a^2$.
$(c^2 + a^2)(c^2 - a^2) = (c^2)^2 - (a^2)^2 = c^4 - a^4$.
Ответ: $c^4 - a^4$.

в) Упростим выражение $(a - x)(a + x)(a^2 + x^2)$ последовательно, применяя формулу разности квадратов дважды.
Сначала перемножим первые две скобки: $(a - x)(a + x) = a^2 - x^2$.
Теперь исходное выражение принимает вид: $(a^2 - x^2)(a^2 + x^2)$.
Это снова формула разности квадратов, где в роли $x$ выступает $a^2$, а в роли $y$ — $x^2$.
$(a^2 - x^2)(a^2 + x^2) = (a^2)^2 - (x^2)^2 = a^4 - x^4$.
Таким образом, $(a - x)(a + x)(a^2 + x^2) = (a^2 - x^2)(a^2 + x^2) = a^4 - x^4$.
Ответ: $a^4 - x^4$.

г) Для упрощения выражения $(c + 1)(c - 1)(1 + c^2)$ будем действовать по аналогии с предыдущим пунктом.
Сначала применим формулу разности квадратов к первым двум множителям: $(c + 1)(c - 1) = c^2 - 1^2 = c^2 - 1$.
Подставим результат в выражение: $(c^2 - 1)(1 + c^2)$.
Поменяем слагаемые во второй скобке местами, чтобы было нагляднее: $(c^2 - 1)(c^2 + 1)$.
Еще раз применим формулу разности квадратов: $(c^2 - 1)(c^2 + 1) = (c^2)^2 - 1^2 = c^4 - 1$.
Полная цепочка преобразований: $(c + 1)(c - 1)(1 + c^2) = (c^2 - 1)(1 + c^2) = c^4 - 1$.
Ответ: $c^4 - 1$.

234. Подчеркните многочлены, которые можно разложить на множители, используя формулу разности квадратов.

$9p^2 - 25m^2$ $a^2 - b^2c$ $x^2 + 4$

$x^2 - y^4$ $m^2n^2 - 1$ $-a^2 + 1$

Формула разности квадратов имеет вид $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$. Чтобы многочлен можно было разложить на множители с помощью этой формулы, он должен представлять собой разность двух выражений, каждое из которых является полным квадратом. Проанализируем каждый из предложенных многочленов.

$9p^2 - 25m^2$
Этот многочлен является разностью двух выражений: $9p^2$ и $25m^2$.
Первое выражение $9p^2$ можно представить в виде квадрата: $9p^2 = (3p)^2$.
Второе выражение $25m^2$ также можно представить в виде квадрата: $25m^2 = (5m)^2$.
Таким образом, многочлен можно записать как $(3p)^2 - (5m)^2$, что полностью соответствует формуле разности квадратов, где $A = 3p$ и $B = 5m$.
Разложение на множители: $9p^2 - 25m^2 = (3p - 5m)(3p + 5m)$.
Ответ: Данный многочлен можно разложить по формуле разности квадратов.

$a^2 - b^2c$
Этот многочлен является разностью двух выражений: $a^2$ и $b^2c$.
Первое выражение $a^2$ является полным квадратом: $a^2 = (a)^2$.
Однако второе выражение $b^2c$ не является полным квадратом, так как множитель $c$ находится в первой степени, а для полного квадрата все степени множителей-переменных должны быть четными.
Следовательно, этот многочлен нельзя разложить на множители по формуле разности квадратов.
Ответ: Данный многочлен нельзя разложить по формуле разности квадратов.

$x^2 + 4$
Этот многочлен представляет собой сумму ($x^2 + 2^2$), а не разность. Формула разности квадратов применяется только к разности. Сумма квадратов не раскладывается на множители с действительными коэффициентами.
Ответ: Данный многочлен нельзя разложить по формуле разности квадратов.

$x^2 - y^4$
Этот многочлен является разностью двух выражений: $x^2$ и $y^4$.
Первое выражение $x^2$ является полным квадратом: $x^2 = (x)^2$.
Второе выражение $y^4$ также является полным квадратом, так как его степень четная: $y^4 = (y^2)^2$.
Следовательно, многочлен можно представить в виде $(x)^2 - (y^2)^2$, что соответствует формуле разности квадратов, где $A = x$ и $B = y^2$.
Разложение на множители: $x^2 - y^4 = (x - y^2)(x + y^2)$.
Ответ: Данный многочлен можно разложить по формуле разности квадратов.

$m^2n^2 - 1$
Этот многочлен является разностью двух выражений: $m^2n^2$ и $1$.
Первое выражение $m^2n^2$ является полным квадратом: $m^2n^2 = (mn)^2$.
Второе выражение $1$ также является полным квадратом: $1 = 1^2$.
Таким образом, многочлен можно представить как $(mn)^2 - 1^2$, что соответствует формуле, где $A = mn$ и $B = 1$.
Разложение на множители: $m^2n^2 - 1 = (mn - 1)(mn + 1)$.
Ответ: Данный многочлен можно разложить по формуле разности квадратов.

$-a^2 + 1$
Этот многочлен можно переписать, поменяв слагаемые местами: $1 - a^2$.
Теперь это разность двух выражений: $1$ и $a^2$.
Первое выражение $1$ является полным квадратом: $1 = 1^2$.
Второе выражение $a^2$ также является полным квадратом: $a^2 = (a)^2$.
Таким образом, многочлен можно представить как $1^2 - a^2$, что соответствует формуле, где $A = 1$ и $B = a$.
Разложение на множители: $1 - a^2 = (1 - a)(1 + a)$.
Ответ: Данный многочлен можно разложить по формуле разности квадратов.

Таким образом, многочлены, которые можно разложить на множители с использованием формулы разности квадратов, это: $9p^2 - 25m^2$, $x^2 - y^4$, $m^2n^2 - 1$ и $-a^2 + 1$.

235. Разложите на множители.

а) $a^2b^2 - 4c^2 = (ab)^2 - (2c)^2 = ...$

б) $16 - 9x^4 = 4^2 - (3x^2)^2 = ...$

в) $x^2 - y^2z^4 = ...$

г) $z^4 - 1 = ...$

Для решения всех пунктов используется формула сокращенного умножения "разность квадратов": $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

а) $a^2b^2 - 4c^2$

Первый шаг — представить каждый член выражения в виде квадрата. $a^2b^2$ это $(ab)^2$, а $4c^2$ это $(2c)^2$.

Выражение принимает вид: $(ab)^2 - (2c)^2$.

Теперь применим формулу разности квадратов, где $a = ab$ и $b = 2c$:

$(ab)^2 - (2c)^2 = (ab - 2c)(ab + 2c)$.

Ответ: $(ab - 2c)(ab + 2c)$.

б) $16 - 9x^4$

Представим каждый член в виде квадрата. $16$ это $4^2$, а $9x^4$ это $(3x^2)^2$.

Выражение принимает вид: $4^2 - (3x^2)^2$.

Применим формулу разности квадратов, где $a = 4$ и $b = 3x^2$:

$4^2 - (3x^2)^2 = (4 - 3x^2)(4 + 3x^2)$.

Ответ: $(4 - 3x^2)(4 + 3x^2)$.

в) $x^2 - y^2z^4$

Представим второй член в виде квадрата. $y^2z^4$ можно записать как $(yz^2)^2$, так как по свойству степеней $(yz^2)^2 = y^2(z^2)^2 = y^2z^4$.

Выражение принимает вид: $x^2 - (yz^2)^2$.

Применим формулу разности квадратов, где $a = x$ и $b = yz^2$:

$x^2 - (yz^2)^2 = (x - yz^2)(x + yz^2)$.

Ответ: $(x - yz^2)(x + yz^2)$.

г) $z^4 - 1$

Представим выражение в виде разности квадратов. $z^4$ это $(z^2)^2$, а $1$ это $1^2$.

Выражение принимает вид: $(z^2)^2 - 1^2$.

Применим формулу разности квадратов, где $a = z^2$ и $b = 1$:

$(z^2)^2 - 1^2 = (z^2 - 1)(z^2 + 1)$.

Обратим внимание, что первый множитель $(z^2 - 1)$ сам является разностью квадратов ($z^2 - 1^2$), поэтому его можно разложить дальше:

$z^2 - 1 = (z - 1)(z + 1)$.

Таким образом, окончательное разложение на множители выглядит так:

$z^4 - 1 = (z - 1)(z + 1)(z^2 + 1)$.

Ответ: $(z - 1)(z + 1)(z^2 + 1)$.

Используйте формулу разности квадратов в вычислениях (236—239).

236. a) $201^2 - 199^2 = (201 - 199)(201 + 199) = \dots \cdot \dots = \dots$

б) $105^2 - 95^2 = \dots$

в) $25,6^2 - 4,4^2 = \dots$

а) Для вычисления выражения $201^2 - 199^2$ используем формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
В данном случае $a = 201$ и $b = 199$.
Подставим значения в формулу:
$201^2 - 199^2 = (201 - 199)(201 + 199)$
Выполним вычисления в скобках:
$201 - 199 = 2$
$201 + 199 = 400$
Теперь перемножим полученные результаты:
$2 \cdot 400 = 800$
Ответ: 800

б) Для вычисления выражения $105^2 - 95^2$ применяем ту же формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Здесь $a = 105$ и $b = 95$.
Подставим значения в формулу:
$105^2 - 95^2 = (105 - 95)(105 + 95)$
Выполним вычисления в скобках:
$105 - 95 = 10$
$105 + 95 = 200$
Перемножим полученные результаты:
$10 \cdot 200 = 2000$
Ответ: 2000

в) Для вычисления выражения $25,6^2 - 4,4^2$ используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
В этом примере $a = 25,6$ и $b = 4,4$.
Подставим значения в формулу:
$25,6^2 - 4,4^2 = (25,6 - 4,4)(25,6 + 4,4)$
Выполним вычисления в скобках:
$25,6 - 4,4 = 21,2$
$25,6 + 4,4 = 30$
Перемножим полученные результаты:
$21,2 \cdot 30 = 636$
Ответ: 636