Номер 233, страница 98 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Минаева, Рослова

8. Разложение многочленов на множители - номер 233, страница 98.

Условие.

233. Упростите выражение.

а) $(3ab + 1)(3ab - 1) = \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots$

б) $(a^2 + c^2)(c^2 - a^2) = \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots$

в) $(a - x)(a + x)(a^2 + x^2) = (\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots)(\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots) = \ldots\ldots$

г) $(c + 1)(c - 1)(1 + c^2) = \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots = \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots$

Решение.

Решение 2.

а) Данное выражение является произведением суммы и разности двух выражений. Для его упрощения применим формулу сокращенного умножения "разность квадратов": $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$.
В нашем случае $x = 3ab$ и $y = 1$.
Подставим эти значения в формулу:
$(3ab + 1)(3ab - 1) = (3ab)^2 - 1^2 = 9a^2b^2 - 1$.
Ответ: $9a^2b^2 - 1$.

б) В выражении $(a^2 + c^2)(c^2 - a^2)$ поменяем местами слагаемые в первой скобке, от этого сумма не изменится: $(c^2 + a^2)(c^2 - a^2)$.
Теперь мы можем применить формулу разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$, где $x = c^2$ и $y = a^2$.
$(c^2 + a^2)(c^2 - a^2) = (c^2)^2 - (a^2)^2 = c^4 - a^4$.
Ответ: $c^4 - a^4$.

в) Упростим выражение $(a - x)(a + x)(a^2 + x^2)$ последовательно, применяя формулу разности квадратов дважды.
Сначала перемножим первые две скобки: $(a - x)(a + x) = a^2 - x^2$.
Теперь исходное выражение принимает вид: $(a^2 - x^2)(a^2 + x^2)$.
Это снова формула разности квадратов, где в роли $x$ выступает $a^2$, а в роли $y$ — $x^2$.
$(a^2 - x^2)(a^2 + x^2) = (a^2)^2 - (x^2)^2 = a^4 - x^4$.
Таким образом, $(a - x)(a + x)(a^2 + x^2) = (a^2 - x^2)(a^2 + x^2) = a^4 - x^4$.
Ответ: $a^4 - x^4$.

г) Для упрощения выражения $(c + 1)(c - 1)(1 + c^2)$ будем действовать по аналогии с предыдущим пунктом.
Сначала применим формулу разности квадратов к первым двум множителям: $(c + 1)(c - 1) = c^2 - 1^2 = c^2 - 1$.
Подставим результат в выражение: $(c^2 - 1)(1 + c^2)$.
Поменяем слагаемые во второй скобке местами, чтобы было нагляднее: $(c^2 - 1)(c^2 + 1)$.
Еще раз применим формулу разности квадратов: $(c^2 - 1)(c^2 + 1) = (c^2)^2 - 1^2 = c^4 - 1$.
Полная цепочка преобразований: $(c + 1)(c - 1)(1 + c^2) = (c^2 - 1)(1 + c^2) = c^4 - 1$.
Ответ: $c^4 - 1$.