Номер 238, страница 99 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Минаева, Рослова

8. Разложение многочленов на множители - номер 238, страница 99.

Условие.

238. Докажите, что $2^8 - 1$ делится на 5.

$2^8 - 1 = (2^4 - 1)(2^4 + 1) = \ldots$

Решение.

Решение 2.

Для доказательства того, что выражение $2^8 - 1$ делится на 5, воспользуемся подсказкой из условия и применим формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Представим исходное выражение в виде разности квадратов, где $a = 2^4$ и $b = 1$:$2^8 - 1 = (2^4)^2 - 1^2 = (2^4 - 1)(2^4 + 1)$.

Теперь вычислим значение каждого множителя в полученном произведении.Сначала найдем значение $2^4$:
$2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$.

Подставим это значение в скобки:
Первый множитель: $2^4 - 1 = 16 - 1 = 15$.
Второй множитель: $2^4 + 1 = 16 + 1 = 17$.

Таким образом, исходное выражение можно записать в виде произведения:$2^8 - 1 = 15 \times 17$.

Согласно свойству делимости, если в произведении хотя бы один из множителей делится на некоторое число, то и все произведение делится на это число. В нашем случае множитель 15 делится на 5, так как $15 = 5 \times 3$. Следовательно, все произведение $15 \times 17$ также делится на 5.

Это доказывает, что исходное выражение $2^8 - 1$ делится на 5. Для дополнительной проверки можно вычислить его значение: $2^8 - 1 = 256 - 1 = 255$. Число 255 оканчивается на 5, а значит, делится на 5 нацело ($255 \div 5 = 51$), что и подтверждает наше доказательство.

Ответ: Утверждение доказано. Выражение $2^8 - 1$ равно произведению $15 \times 17$. Так как один из множителей, а именно 15, делится на 5, то и все произведение делится на 5.