Номер 241, страница 99 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Минаева, Рослова

8. Разложение многочленов на множители - номер 241, страница 99.

Условие.

241. Запишите формулы разности и суммы кубов.

Решение.

Решение 2.

Формула разности кубов

Разность кубов двух выражений ($a$ и $b$) — это одна из формул сокращенного умножения. Она гласит, что разность кубов равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы.

Формула выглядит следующим образом:

$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

Выражение $a^2 + ab + b^2$ называется неполным квадратом суммы, так как полный квадрат суммы выглядит как $a^2 + 2ab + b^2$.

Для доказательства этой формулы можно раскрыть скобки в правой части выражения:

$(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a \cdot a^2 + a \cdot ab + a \cdot b^2 - b \cdot a^2 - b \cdot ab - b \cdot b^2 = a^3 + a^2b + ab^2 - a^2b - ab^2 - b^3$

После приведения подобных слагаемых ($a^2b - a^2b = 0$ и $ab^2 - ab^2 = 0$) мы получаем исходное выражение в левой части:

$a^3 - b^3$

Формула доказана.

Ответ: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

Формула суммы кубов

Сумма кубов двух выражений ($a$ и $b$) — это еще одна формула сокращенного умножения. Она утверждает, что сумма кубов равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности.

Формула выглядит следующим образом:

$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

Выражение $a^2 - ab + b^2$ называется неполным квадратом разности, так как полный квадрат разности — это $a^2 - 2ab + b^2$.

Докажем эту формулу, также раскрыв скобки в правой части:

$(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a \cdot a^2 - a \cdot ab + a \cdot b^2 + b \cdot a^2 - b \cdot ab + b \cdot b^2 = a^3 - a^2b + ab^2 + a^2b - ab^2 + b^3$

После приведения подобных слагаемых ($-a^2b + a^2b = 0$ и $ab^2 - ab^2 = 0$) мы получаем выражение из левой части:

$a^3 + b^3$

Формула доказана.

Ответ: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$