Номер 247, страница 100 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Минаева, Рослова

8. Разложение многочленов на множители - номер 247, страница 100.

Условие.

247. Сократите дроби.

а) $\frac{x^3 - y^3}{(x - y)^2} = $..........

б) $\frac{am^2 - am + a}{m^3 + 1} = \frac{a(a........)}{..........} = $..........

Решение.

Решение 2.

а) Чтобы сократить дробь $\frac{x^3 - y^3}{(x - y)^2}$, необходимо разложить на множители числитель и знаменатель.

Числитель представляет собой разность кубов. Воспользуемся формулой сокращенного умножения: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Применяя эту формулу к числителю, получаем:

$x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$

Знаменатель дроби $(x - y)^2$ можно записать как произведение двух одинаковых скобок: $(x - y)(x - y)$.

Подставим разложенные выражения обратно в дробь:

$\frac{x^3 - y^3}{(x - y)^2} = \frac{(x - y)(x^2 + xy + y^2)}{(x - y)(x - y)}$

Теперь можно сократить общий множитель $(x - y)$ в числителе и знаменателе, при условии, что $x - y \neq 0$:

$\frac{\cancel{(x - y)}(x^2 + xy + y^2)}{\cancel{(x - y)}(x - y)} = \frac{x^2 + xy + y^2}{x - y}$

Ответ: $\frac{x^2 + xy + y^2}{x - y}$

б) Чтобы сократить дробь $\frac{am^2 - am + a}{m^3 + 1}$, также разложим числитель и знаменатель на множители.

В числителе вынесем общий множитель $a$ за скобки:

$am^2 - am + a = a(m^2 - m + 1)$

Знаменатель $m^3 + 1$ является суммой кубов. Воспользуемся формулой: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

Применяя эту формулу к знаменателю, получаем:

$m^3 + 1 = m^3 + 1^3 = (m + 1)(m^2 - m \cdot 1 + 1^2) = (m + 1)(m^2 - m + 1)$

Подставим разложенные выражения в исходную дробь:

$\frac{am^2 - am + a}{m^3 + 1} = \frac{a(m^2 - m + 1)}{(m + 1)(m^2 - m + 1)}$

Сократим общий множитель $(m^2 - m + 1)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{a\cancel{(m^2 - m + 1)}}{(m + 1)\cancel{(m^2 - m + 1)}} = \frac{a}{m + 1}$

Ответ: $\frac{a}{m + 1}$