Номер 248, страница 100 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Минаева, Рослова

8. Разложение многочленов на множители - номер 248, страница 100.

Условие.

Разложите на множители (248—250).

248. а) $ab - a^3b^3 = ab(1 - a^2b^2) = \dots$

б) $3x^5 - 27x = \dots$

в) $x^4y - xy^4 = \dots$

г) $5a^3 + 40b^3 = \dots$

д) $az^2 - 4azm + 4am^2 = \dots$

е) $4x^3 + 8x^2yz + 4xy^2z^2 = \dots$

Решение.

Решение 2.

а) $ab - a^3b^3 = ab(1 - a^2b^2) = ...$

Сначала вынесем общий множитель $ab$ за скобки. Это действие уже показано в условии: $ab - a^3b^3 = ab(1 - a^2b^2)$.

Далее, рассмотрим выражение в скобках $1 - a^2b^2$. Это разность квадратов, так как $1 = 1^2$ и $a^2b^2 = (ab)^2$.

Воспользуемся формулой разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$. В нашем случае $A=1$ и $B=ab$.

Получаем: $1 - (ab)^2 = (1 - ab)(1 + ab)$.

Подставляем это разложение в исходное выражение:

$ab(1 - a^2b^2) = ab(1 - ab)(1 + ab)$.

Ответ: $ab(1 - ab)(1 + ab)$.

б) $3x^5 - 27x = ...$

Найдем наибольший общий делитель для обоих членов. Общий числовой множитель - $3$. Общий множитель для переменных - $x$. Таким образом, выносим за скобки $3x$.

$3x^5 - 27x = 3x(x^4 - 9)$.

Выражение в скобках $x^4 - 9$ представляет собой разность квадратов, где $x^4 = (x^2)^2$ и $9 = 3^2$.

Применяем формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$, где $A = x^2$ и $B = 3$.

$x^4 - 9 = (x^2 - 3)(x^2 + 3)$.

Полное разложение на множители выглядит так:

$3x(x^2 - 3)(x^2 + 3)$.

Ответ: $3x(x^2 - 3)(x^2 + 3)$.

в) $x^4y - xy^4 = ...$

Вынесем общий множитель $xy$ за скобки.

$x^4y - xy^4 = xy(x^3 - y^3)$.

Выражение в скобках $x^3 - y^3$ является разностью кубов.

Применим формулу разности кубов $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$, где $A = x$ и $B = y$.

$x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$.

Таким образом, итоговое разложение на множители:

$xy(x - y)(x^2 + xy + y^2)$.

Ответ: $xy(x - y)(x^2 + xy + y^2)$.

г) $5a^3 + 40b^3 = ...$

Вынесем общий числовой множитель $5$ за скобки.

$5a^3 + 40b^3 = 5(a^3 + 8b^3)$.

Выражение в скобках $a^3 + 8b^3$ является суммой кубов, так как $8b^3 = (2b)^3$.

Применим формулу суммы кубов $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$, где $A = a$ и $B = 2b$.

$a^3 + (2b)^3 = (a + 2b)(a^2 - a \cdot 2b + (2b)^2) = (a + 2b)(a^2 - 2ab + 4b^2)$.

Полное разложение на множители:

$5(a + 2b)(a^2 - 2ab + 4b^2)$.

Ответ: $5(a + 2b)(a^2 - 2ab + 4b^2)$.

д) $az^2 - 4azm + 4am^2 = ...$

Вынесем общий множитель $a$ за скобки.

$az^2 - 4azm + 4am^2 = a(z^2 - 4zm + 4m^2)$.

Выражение в скобках $z^2 - 4zm + 4m^2$ является полным квадратом разности, так как соответствует формуле $(A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.

В нашем случае $A = z$ и $B = 2m$. Проверим: $A^2 = z^2$, $B^2 = (2m)^2 = 4m^2$ и $2AB = 2 \cdot z \cdot 2m = 4zm$.

Следовательно, $z^2 - 4zm + 4m^2 = (z - 2m)^2$.

Итоговое разложение:

$a(z - 2m)^2$.

Ответ: $a(z - 2m)^2$.

е) $4x^3 + 8x^2yz + 4xy^2z^2 = ...$

Найдем наибольший общий делитель для всех членов. Общий числовой множитель - $4$. Общий множитель для переменных - $x$. Выносим $4x$ за скобки.

$4x^3 + 8x^2yz + 4xy^2z^2 = 4x(x^2 + 2xyz + y^2z^2)$.

Выражение в скобках $x^2 + 2xyz + y^2z^2$ является полным квадратом суммы, так как соответствует формуле $(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$.

В нашем случае $A = x$ и $B = yz$. Проверим: $A^2 = x^2$, $B^2 = (yz)^2 = y^2z^2$ и $2AB = 2 \cdot x \cdot yz = 2xyz$.

Следовательно, $x^2 + 2xyz + y^2z^2 = (x + yz)^2$.

Итоговое разложение:

$4x(x + yz)^2$.

Ответ: $4x(x + yz)^2$.