Номер 246, страница 100 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Минаева, Рослова

8. Разложение многочленов на множители - номер 246, страница 100.

Условие.

246. Докажите, что $7^6 - 14^3$ делится на 5.

$7^6 - 14^3 = ................$

Решение.

Решение 2.

Для того чтобы доказать, что выражение $7^6 - 14^3$ делится на 5, необходимо его преобразовать. Цель преобразования — выявить множитель, кратный 5.

1. Представим член $7^6$ в виде степени с показателем 3, чтобы привести выражение к форме разности кубов. Используем свойство степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$7^6 = 7^{2 \cdot 3} = (7^2)^3 = 49^3$

2. Теперь исходное выражение можно переписать следующим образом:

$7^6 - 14^3 = 49^3 - 14^3$

3. Мы получили разность кубов. Воспользуемся формулой сокращенного умножения для разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$.

В нашем случае $a = 49$ и $b = 14$. Применим формулу:

$49^3 - 14^3 = (49 - 14)(49^2 + 49 \cdot 14 + 14^2)$

4. Вычислим значение первого множителя, который находится в первой скобке:

$49 - 14 = 35$

5. Подставим полученное значение обратно в выражение:

$35 \cdot (49^2 + 49 \cdot 14 + 14^2)$

6. В полученном произведении один из множителей равен 35. Число 35 делится на 5 без остатка, так как $35 = 5 \cdot 7$.

Согласно свойству делимости, если один из множителей произведения делится на некоторое число, то и все произведение делится на это число. Так как множитель 35 делится на 5, то и все выражение $35 \cdot (49^2 + 49 \cdot 14 + 14^2)$ делится на 5.

Таким образом, доказано, что $7^6 - 14^3$ делится на 5.

Ответ: Выражение $7^6 - 14^3$ можно представить как разность кубов $49^3 - 14^3$. Применив формулу разности кубов, получаем произведение $(49 - 14)(49^2 + 49 \cdot 14 + 14^2)$. Первый множитель равен $35$. Так как $35$ делится на $5$, то и все произведение делится на $5$, что и требовалось доказать.