Номер 249, страница 101 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Минаева, Рослова

8. Разложение многочленов на множители - номер 249, страница 101.

Условие.

249. a) $a^2 + 2ab + b^2 - c^4 = (a^2 + 2ab + b^2) - (c^2)^2 = \dots$

б) $x^2 + y^2 + 2xy - z^2 = \dots$

в) $x^6 - y^2 - 2zy - z^2 = \dots$

г) $1 - a^2 + 2ac - c^2 = \dots$

Решение.

Решение 2.

а) $a^2 + 2ab + b^2 - c^4$

Для решения сгруппируем первые три члена выражения. Они представляют собой формулу сокращенного умножения — квадрат суммы: $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$.

Четвертый член $c^4$ можно представить в виде квадрата: $c^4 = (c^2)^2$.

Подставив эти преобразования в исходное выражение, получим разность квадратов:

$(a+b)^2 - (c^2)^2$

Теперь применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, где $x = a+b$, а $y = c^2$:

$((a+b) - c^2)((a+b) + c^2) = (a+b-c^2)(a+b+c^2)$

Ответ: $(a+b-c^2)(a+b+c^2)$.

б) $x^2 + y^2 + 2xy - z^2$

Сначала изменим порядок членов, чтобы сгруппировать их: $(x^2 + 2xy + y^2) - z^2$.

Выражение в скобках является квадратом суммы: $x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2$.

После подстановки получаем выражение вида:

$(x+y)^2 - z^2$

Это формула разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = x+y$, а $b = z$.

Применив формулу, получаем:

$((x+y) - z)((x+y) + z) = (x+y-z)(x+y+z)$

Ответ: $(x+y-z)(x+y+z)$.

в) $x^6 - y^2 - 2zy - z^2$

Сгруппируем последние три члена и вынесем знак минус за скобки:

$x^6 - (y^2 + 2zy + z^2)$

Выражение в скобках — это квадрат суммы: $y^2 + 2zy + z^2 = (y+z)^2$.

Теперь исходное выражение можно записать как:

$x^6 - (y+z)^2$

Представим $x^6$ в виде квадрата: $x^6 = (x^3)^2$. Получаем разность квадратов:

$(x^3)^2 - (y+z)^2$

Используем формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = x^3$, а $b = y+z$:

$(x^3 - (y+z))(x^3 + (y+z)) = (x^3-y-z)(x^3+y+z)$

Ответ: $(x^3-y-z)(x^3+y+z)$.

г) $1 - a^2 + 2ac - c^2$

Сгруппируем последние три члена и вынесем минус за скобки:

$1 - (a^2 - 2ac + c^2)$

Выражение в скобках — это квадрат разности: $a^2 - 2ac + c^2 = (a-c)^2$.

Подставим это в выражение:

$1 - (a-c)^2$

Представим $1$ как $1^2$ и получим разность квадратов:

$1^2 - (a-c)^2$

Применим формулу $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, где $x = 1$, а $y = a-c$:

$(1 - (a-c))(1 + (a-c)) = (1-a+c)(1+a-c)$

Ответ: $(1-a+c)(1+a-c)$.