Номер 242, страница 99 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Минаева, Рослова

8. Разложение многочленов на множители - номер 242, страница 99.

Условие.

242. Подчеркните выражения, которые можно упростить, используя формулу разности кубов или формулу суммы кубов.

$(x + 2y)(x^2 - 2xy + 4y^2)$

$(4 - a^2)(16 + 4a^2 + a^4)$

$(bc - a)(a^2 + abc + b^2c^2)$

$(1 - n + n^2)(n + 1)$

$(3a + b)(9a^2 + 3ab + b^2)$

$(4 + 4z + z^2)(2 - z)$

Решение.

Решение 2.

В этой задаче требуется определить, какие из предложенных произведений можно упростить с помощью формул суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ или разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$. Проанализируем каждое выражение.

(x + 2y)(x^2 - 2xy + 4y^2)

Это выражение соответствует формуле суммы кубов. Пусть $a = x$ и $b = 2y$. Тогда первая скобка – это $(a+b)$. Вторая скобка должна быть неполным квадратом разности: $a^2 - ab + b^2$. Проверим это: $a^2 = x^2$, $ab = x \cdot 2y = 2xy$, $b^2 = (2y)^2 = 4y^2$. Выражение во второй скобке $(x^2 - 2xy + 4y^2)$ полностью совпадает с требуемой формой. Таким образом, произведение можно упростить: $(x + 2y)(x^2 - 2xy + 4y^2) = x^3 + (2y)^3 = x^3 + 8y^3$.

Ответ: Выражение можно упростить. Результат: $x^3 + 8y^3$.

(4 - a^2)(16 + 4a^2 + a^4)

Это выражение соответствует формуле разности кубов. Пусть $a = 4$ и $b = a^2$. Тогда первая скобка – это $(a-b)$. Вторая скобка должна быть неполным квадратом суммы: $a^2 + ab + b^2$. Проверим это: $a^2 = 4^2 = 16$, $ab = 4 \cdot a^2 = 4a^2$, $b^2 = (a^2)^2 = a^4$. Выражение во второй скобке $(16 + 4a^2 + a^4)$ полностью совпадает с требуемой формой. Таким образом, произведение можно упростить: $(4 - a^2)(16 + 4a^2 + a^4) = 4^3 - (a^2)^3 = 64 - a^6$.

Ответ: Выражение можно упростить. Результат: $64 - a^6$.

(bc - a)(a^2 + abc + b^2c^2)

Это выражение соответствует формуле разности кубов. Пусть $A = bc$ и $B = a$. Тогда первая скобка – это $(A-B)$. Вторая скобка должна быть неполным квадратом суммы: $A^2 + AB + B^2$. Проверим это: $A^2 = (bc)^2 = b^2c^2$, $AB = (bc) \cdot a = abc$, $B^2 = a^2$. Выражение во второй скобке $(a^2 + abc + b^2c^2)$ содержит все нужные члены, хоть и в другом порядке $(B^2 + AB + A^2)$. Это совпадает с требуемой формой. Таким образом, произведение можно упростить: $(bc - a)(a^2 + abc + b^2c^2) = (bc)^3 - a^3 = b^3c^3 - a^3$.

Ответ: Выражение можно упростить. Результат: $b^3c^3 - a^3$.

(1 - n + n^2)(n + 1)

Поменяем множители местами для наглядности: $(n + 1)(n^2 - n + 1)$. Это выражение соответствует формуле суммы кубов. Пусть $a = n$ и $b = 1$. Тогда первая скобка – это $(a+b)$. Вторая скобка должна быть неполным квадратом разности: $a^2 - ab + b^2$. Проверим это: $a^2 = n^2$, $ab = n \cdot 1 = n$, $b^2 = 1^2 = 1$. Выражение во второй скобке $(n^2 - n + 1)$ полностью совпадает с требуемой формой. Таким образом, произведение можно упростить: $(n + 1)(n^2 - n + 1) = n^3 + 1^3 = n^3 + 1$.

Ответ: Выражение можно упростить. Результат: $n^3 + 1$.

(3a + b)(9a^2 + 3ab + b^2)

Попытаемся применить формулу суммы кубов. Пусть $A = 3a$ и $B = b$. Первая скобка $(A+B)$ соответствует. Вторая скобка для формулы суммы кубов должна быть неполным квадратом разности: $A^2 - AB + B^2 = (3a)^2 - (3a)(b) + b^2 = 9a^2 - 3ab + b^2$. Однако в данном выражении вторая скобка равна $(9a^2 + 3ab + b^2)$. Знак среднего члена не совпадает (нужен «минус», а стоит «плюс»).

Ответ: Выражение нельзя упростить с помощью формулы суммы или разности кубов.

(4 + 4z + z^2)(2 - z)

Поменяем множители местами: $(2 - z)(z^2 + 4z + 4)$. Попытаемся применить формулу разности кубов. Пусть $A = 2$ и $B = z$. Первая скобка $(A-B)$ соответствует. Вторая скобка для формулы разности кубов должна быть неполным квадратом суммы: $A^2 + AB + B^2 = 2^2 + (2)(z) + z^2 = 4 + 2z + z^2$. Однако в данном выражении вторая скобка равна $(z^2 + 4z + 4)$. Средний член не совпадает (нужен $2z$, а стоит $4z$).

Ответ: Выражение нельзя упростить с помощью формулы суммы или разности кубов.