Номер 235, страница 98 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Минаева, Рослова

8. Разложение многочленов на множители - номер 235, страница 98.

Условие.

235. Разложите на множители.

а) $a^2b^2 - 4c^2 = (ab)^2 - (2c)^2 = ...$

б) $16 - 9x^4 = 4^2 - (3x^2)^2 = ...$

в) $x^2 - y^2z^4 = ...$

г) $z^4 - 1 = ...$

Решение.

Решение 2.

Для решения всех пунктов используется формула сокращенного умножения "разность квадратов": $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

а) $a^2b^2 - 4c^2$

Первый шаг — представить каждый член выражения в виде квадрата. $a^2b^2$ это $(ab)^2$, а $4c^2$ это $(2c)^2$.

Выражение принимает вид: $(ab)^2 - (2c)^2$.

Теперь применим формулу разности квадратов, где $a = ab$ и $b = 2c$:

$(ab)^2 - (2c)^2 = (ab - 2c)(ab + 2c)$.

Ответ: $(ab - 2c)(ab + 2c)$.

б) $16 - 9x^4$

Представим каждый член в виде квадрата. $16$ это $4^2$, а $9x^4$ это $(3x^2)^2$.

Выражение принимает вид: $4^2 - (3x^2)^2$.

Применим формулу разности квадратов, где $a = 4$ и $b = 3x^2$:

$4^2 - (3x^2)^2 = (4 - 3x^2)(4 + 3x^2)$.

Ответ: $(4 - 3x^2)(4 + 3x^2)$.

в) $x^2 - y^2z^4$

Представим второй член в виде квадрата. $y^2z^4$ можно записать как $(yz^2)^2$, так как по свойству степеней $(yz^2)^2 = y^2(z^2)^2 = y^2z^4$.

Выражение принимает вид: $x^2 - (yz^2)^2$.

Применим формулу разности квадратов, где $a = x$ и $b = yz^2$:

$x^2 - (yz^2)^2 = (x - yz^2)(x + yz^2)$.

Ответ: $(x - yz^2)(x + yz^2)$.

г) $z^4 - 1$

Представим выражение в виде разности квадратов. $z^4$ это $(z^2)^2$, а $1$ это $1^2$.

Выражение принимает вид: $(z^2)^2 - 1^2$.

Применим формулу разности квадратов, где $a = z^2$ и $b = 1$:

$(z^2)^2 - 1^2 = (z^2 - 1)(z^2 + 1)$.

Обратим внимание, что первый множитель $(z^2 - 1)$ сам является разностью квадратов ($z^2 - 1^2$), поэтому его можно разложить дальше:

$z^2 - 1 = (z - 1)(z + 1)$.

Таким образом, окончательное разложение на множители выглядит так:

$z^4 - 1 = (z - 1)(z + 1)(z^2 + 1)$.

Ответ: $(z - 1)(z + 1)(z^2 + 1)$.