Номер 245, страница 100 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Минаева, Рослова

8. Разложение многочленов на множители - номер 245, страница 100.

Условие.

245. Докажите, что $5^6 - 10^3$ делится на 3.

$5^6 - 10^3 = \dots$

Решение.

Решение 2.

Чтобы доказать, что выражение $5^6 - 10^3$ делится на 3, можно рассмотреть несколько способов решения.

Способ 1: Прямое вычисление

Этот способ заключается в прямом вычислении значения выражения и проверке его делимости на 3.

Сначала вычислим значение $5^6$. Это можно сделать, представив $5^6$ как $(5^3)^2$.

$5^3 = 125$, следовательно, $5^6 = 125^2 = 15625$.

Далее вычислим значение $10^3 = 1000$.

Теперь найдем разность: $5^6 - 10^3 = 15625 - 1000 = 14625$.

Для проверки делимости полученного числа на 3 воспользуемся соответствующим признаком: число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Сумма цифр числа 14625 равна $1 + 4 + 6 + 2 + 5 = 18$. Так как 18 делится на 3 ($18 = 3 \cdot 6$), то и число 14625 делится на 3.

Ответ: Так как $5^6 - 10^3 = 14625$ и 14625 делится на 3, то исходное выражение делится на 3, что и требовалось доказать.

Способ 2: Алгебраические преобразования

Преобразуем выражение, чтобы выделить множитель, кратный 3.

Представим $5^6$ в виде степени с основанием 25: $5^6 = (5^2)^3 = 25^3$. Тогда исходное выражение примет вид $25^3 - 10^3$.

Применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$, где $a=25$ и $b=10$:

$25^3 - 10^3 = (25 - 10)(25^2 + 25 \cdot 10 + 10^2)$.

Первый множитель в этом произведении равен $25 - 10 = 15$. Таким образом, выражение можно записать как $15 \cdot (25^2 + 250 + 100)$.

Поскольку один из множителей равен 15, а 15 делится на 3 ($15 = 3 \cdot 5$), то и всё произведение делится на 3.

Ответ: Выражение $5^6 - 10^3$ можно представить в виде произведения, один из множителей которого равен 15. Так как 15 кратно 3, то и все выражение кратно 3, что и требовалось доказать.

Способ 3: Использование теории сравнений

Этот метод позволяет доказать делимость, работая с остатками от деления на 3 (сравнениями по модулю 3).

Найдем остаток от деления 5 на 3. $5 = 1 \cdot 3 + 2$. Таким образом, $5$ дает остаток $2$ при делении на 3, что записывается как $5 \equiv 2 \pmod{3}$. Удобнее использовать эквивалентное сравнение $5 \equiv -1 \pmod{3}$.

Найдем остаток от деления 10 на 3. $10 = 3 \cdot 3 + 1$. Таким образом, $10$ дает остаток $1$ при делении на 3, то есть $10 \equiv 1 \pmod{3}$.

Теперь подставим эти сравнения в исходное выражение:

$5^6 - 10^3 \equiv (-1)^6 - 1^3 \pmod{3}$.

Вычислим степени: $(-1)^6 = 1$ и $1^3 = 1$.

Тогда $5^6 - 10^3 \equiv 1 - 1 \equiv 0 \pmod{3}$.

Сравнение $0 \pmod{3}$ означает, что выражение $5^6 - 10^3$ делится на 3 без остатка.

Ответ: Так как выражение $5^6 - 10^3$ сравнимо с нулем по модулю 3, оно делится на 3, что и требовалось доказать.