Страница 100 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Минаева, Рослова

244. Разложите на множители.

а) $1 + z^3 = $

б) $a^3 - 8 = $

в) $a^6 + b^3 = $

г) $64 - c^9 = $

а) Для разложения выражения $1 + z^3$ на множители используется формула суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$.
В данном выражении $1$ можно представить как $1^3$. Таким образом, мы получаем сумму кубов $1^3 + z^3$.
Применим формулу, где $x=1$, а $y=z$:
$1^3 + z^3 = (1 + z)(1^2 - 1 \cdot z + z^2) = (1 + z)(1 - z + z^2)$.
Ответ: $(1 + z)(1 - z + z^2)$.

б) Для разложения выражения $a^3 - 8$ на множители используется формула разности кубов: $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$.
Сначала представим число $8$ как куб числа: $8 = 2^3$. Выражение принимает вид $a^3 - 2^3$.
Применим формулу, где $x=a$, а $y=2$:
$a^3 - 2^3 = (a - 2)(a^2 + a \cdot 2 + 2^2) = (a - 2)(a^2 + 2a + 4)$.
Ответ: $(a - 2)(a^2 + 2a + 4)$.

в) Выражение $a^6 + b^3$ также можно разложить с помощью формулы суммы кубов $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$.
Для этого представим $a^6$ как куб выражения: $a^6 = (a^2)^3$. Тогда исходное выражение можно записать как $(a^2)^3 + b^3$.
Применим формулу, где $x=a^2$, а $y=b$:
$(a^2)^3 + b^3 = (a^2 + b)((a^2)^2 - a^2 \cdot b + b^2) = (a^2 + b)(a^4 - a^2b + b^2)$.
Ответ: $(a^2 + b)(a^4 - a^2b + b^2)$.

г) Для разложения выражения $64 - c^9$ на множители используется формула разности кубов $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$.
Представим оба члена выражения в виде кубов: $64 = 4^3$ и $c^9 = (c^3)^3$. Выражение принимает вид $4^3 - (c^3)^3$.
Применим формулу, где $x=4$, а $y=c^3$:
$4^3 - (c^3)^3 = (4 - c^3)(4^2 + 4 \cdot c^3 + (c^3)^2) = (4 - c^3)(16 + 4c^3 + c^6)$.
Ответ: $(4 - c^3)(16 + 4c^3 + c^6)$.

245. Докажите, что $5^6 - 10^3$ делится на 3.

$5^6 - 10^3 = \dots$

Чтобы доказать, что выражение $5^6 - 10^3$ делится на 3, можно рассмотреть несколько способов решения.

Способ 1: Прямое вычисление

Этот способ заключается в прямом вычислении значения выражения и проверке его делимости на 3.

Сначала вычислим значение $5^6$. Это можно сделать, представив $5^6$ как $(5^3)^2$.

$5^3 = 125$, следовательно, $5^6 = 125^2 = 15625$.

Далее вычислим значение $10^3 = 1000$.

Теперь найдем разность: $5^6 - 10^3 = 15625 - 1000 = 14625$.

Для проверки делимости полученного числа на 3 воспользуемся соответствующим признаком: число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Сумма цифр числа 14625 равна $1 + 4 + 6 + 2 + 5 = 18$. Так как 18 делится на 3 ($18 = 3 \cdot 6$), то и число 14625 делится на 3.

Ответ: Так как $5^6 - 10^3 = 14625$ и 14625 делится на 3, то исходное выражение делится на 3, что и требовалось доказать.

Способ 2: Алгебраические преобразования

Преобразуем выражение, чтобы выделить множитель, кратный 3.

Представим $5^6$ в виде степени с основанием 25: $5^6 = (5^2)^3 = 25^3$. Тогда исходное выражение примет вид $25^3 - 10^3$.

Применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$, где $a=25$ и $b=10$:

$25^3 - 10^3 = (25 - 10)(25^2 + 25 \cdot 10 + 10^2)$.

Первый множитель в этом произведении равен $25 - 10 = 15$. Таким образом, выражение можно записать как $15 \cdot (25^2 + 250 + 100)$.

Поскольку один из множителей равен 15, а 15 делится на 3 ($15 = 3 \cdot 5$), то и всё произведение делится на 3.

Ответ: Выражение $5^6 - 10^3$ можно представить в виде произведения, один из множителей которого равен 15. Так как 15 кратно 3, то и все выражение кратно 3, что и требовалось доказать.

Способ 3: Использование теории сравнений

Этот метод позволяет доказать делимость, работая с остатками от деления на 3 (сравнениями по модулю 3).

Найдем остаток от деления 5 на 3. $5 = 1 \cdot 3 + 2$. Таким образом, $5$ дает остаток $2$ при делении на 3, что записывается как $5 \equiv 2 \pmod{3}$. Удобнее использовать эквивалентное сравнение $5 \equiv -1 \pmod{3}$.

Найдем остаток от деления 10 на 3. $10 = 3 \cdot 3 + 1$. Таким образом, $10$ дает остаток $1$ при делении на 3, то есть $10 \equiv 1 \pmod{3}$.

Теперь подставим эти сравнения в исходное выражение:

$5^6 - 10^3 \equiv (-1)^6 - 1^3 \pmod{3}$.

Вычислим степени: $(-1)^6 = 1$ и $1^3 = 1$.

Тогда $5^6 - 10^3 \equiv 1 - 1 \equiv 0 \pmod{3}$.

Сравнение $0 \pmod{3}$ означает, что выражение $5^6 - 10^3$ делится на 3 без остатка.

Ответ: Так как выражение $5^6 - 10^3$ сравнимо с нулем по модулю 3, оно делится на 3, что и требовалось доказать.

246. Докажите, что $7^6 - 14^3$ делится на 5.

$7^6 - 14^3 = ................$

Для того чтобы доказать, что выражение $7^6 - 14^3$ делится на 5, необходимо его преобразовать. Цель преобразования — выявить множитель, кратный 5.

1. Представим член $7^6$ в виде степени с показателем 3, чтобы привести выражение к форме разности кубов. Используем свойство степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$7^6 = 7^{2 \cdot 3} = (7^2)^3 = 49^3$

2. Теперь исходное выражение можно переписать следующим образом:

$7^6 - 14^3 = 49^3 - 14^3$

3. Мы получили разность кубов. Воспользуемся формулой сокращенного умножения для разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$.

В нашем случае $a = 49$ и $b = 14$. Применим формулу:

$49^3 - 14^3 = (49 - 14)(49^2 + 49 \cdot 14 + 14^2)$

4. Вычислим значение первого множителя, который находится в первой скобке:

$49 - 14 = 35$

5. Подставим полученное значение обратно в выражение:

$35 \cdot (49^2 + 49 \cdot 14 + 14^2)$

6. В полученном произведении один из множителей равен 35. Число 35 делится на 5 без остатка, так как $35 = 5 \cdot 7$.

Согласно свойству делимости, если один из множителей произведения делится на некоторое число, то и все произведение делится на это число. Так как множитель 35 делится на 5, то и все выражение $35 \cdot (49^2 + 49 \cdot 14 + 14^2)$ делится на 5.

Таким образом, доказано, что $7^6 - 14^3$ делится на 5.

Ответ: Выражение $7^6 - 14^3$ можно представить как разность кубов $49^3 - 14^3$. Применив формулу разности кубов, получаем произведение $(49 - 14)(49^2 + 49 \cdot 14 + 14^2)$. Первый множитель равен $35$. Так как $35$ делится на $5$, то и все произведение делится на $5$, что и требовалось доказать.

247. Сократите дроби.

а) $\frac{x^3 - y^3}{(x - y)^2} = $..........

б) $\frac{am^2 - am + a}{m^3 + 1} = \frac{a(a........)}{..........} = $..........

а) Чтобы сократить дробь $\frac{x^3 - y^3}{(x - y)^2}$, необходимо разложить на множители числитель и знаменатель.

Числитель представляет собой разность кубов. Воспользуемся формулой сокращенного умножения: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Применяя эту формулу к числителю, получаем:

$x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$

Знаменатель дроби $(x - y)^2$ можно записать как произведение двух одинаковых скобок: $(x - y)(x - y)$.

Подставим разложенные выражения обратно в дробь:

$\frac{x^3 - y^3}{(x - y)^2} = \frac{(x - y)(x^2 + xy + y^2)}{(x - y)(x - y)}$

Теперь можно сократить общий множитель $(x - y)$ в числителе и знаменателе, при условии, что $x - y \neq 0$:

$\frac{\cancel{(x - y)}(x^2 + xy + y^2)}{\cancel{(x - y)}(x - y)} = \frac{x^2 + xy + y^2}{x - y}$

Ответ: $\frac{x^2 + xy + y^2}{x - y}$

б) Чтобы сократить дробь $\frac{am^2 - am + a}{m^3 + 1}$, также разложим числитель и знаменатель на множители.

В числителе вынесем общий множитель $a$ за скобки:

$am^2 - am + a = a(m^2 - m + 1)$

Знаменатель $m^3 + 1$ является суммой кубов. Воспользуемся формулой: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

Применяя эту формулу к знаменателю, получаем:

$m^3 + 1 = m^3 + 1^3 = (m + 1)(m^2 - m \cdot 1 + 1^2) = (m + 1)(m^2 - m + 1)$

Подставим разложенные выражения в исходную дробь:

$\frac{am^2 - am + a}{m^3 + 1} = \frac{a(m^2 - m + 1)}{(m + 1)(m^2 - m + 1)}$

Сократим общий множитель $(m^2 - m + 1)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{a\cancel{(m^2 - m + 1)}}{(m + 1)\cancel{(m^2 - m + 1)}} = \frac{a}{m + 1}$

Ответ: $\frac{a}{m + 1}$

Разложите на множители (248—250).

248. а) $ab - a^3b^3 = ab(1 - a^2b^2) = \dots$

б) $3x^5 - 27x = \dots$

в) $x^4y - xy^4 = \dots$

г) $5a^3 + 40b^3 = \dots$

д) $az^2 - 4azm + 4am^2 = \dots$

е) $4x^3 + 8x^2yz + 4xy^2z^2 = \dots$

а) $ab - a^3b^3 = ab(1 - a^2b^2) = ...$

Сначала вынесем общий множитель $ab$ за скобки. Это действие уже показано в условии: $ab - a^3b^3 = ab(1 - a^2b^2)$.

Далее, рассмотрим выражение в скобках $1 - a^2b^2$. Это разность квадратов, так как $1 = 1^2$ и $a^2b^2 = (ab)^2$.

Воспользуемся формулой разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$. В нашем случае $A=1$ и $B=ab$.

Получаем: $1 - (ab)^2 = (1 - ab)(1 + ab)$.

Подставляем это разложение в исходное выражение:

$ab(1 - a^2b^2) = ab(1 - ab)(1 + ab)$.

Ответ: $ab(1 - ab)(1 + ab)$.

б) $3x^5 - 27x = ...$

Найдем наибольший общий делитель для обоих членов. Общий числовой множитель - $3$. Общий множитель для переменных - $x$. Таким образом, выносим за скобки $3x$.

$3x^5 - 27x = 3x(x^4 - 9)$.

Выражение в скобках $x^4 - 9$ представляет собой разность квадратов, где $x^4 = (x^2)^2$ и $9 = 3^2$.

Применяем формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$, где $A = x^2$ и $B = 3$.

$x^4 - 9 = (x^2 - 3)(x^2 + 3)$.

Полное разложение на множители выглядит так:

$3x(x^2 - 3)(x^2 + 3)$.

Ответ: $3x(x^2 - 3)(x^2 + 3)$.

в) $x^4y - xy^4 = ...$

Вынесем общий множитель $xy$ за скобки.

$x^4y - xy^4 = xy(x^3 - y^3)$.

Выражение в скобках $x^3 - y^3$ является разностью кубов.

Применим формулу разности кубов $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$, где $A = x$ и $B = y$.

$x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$.

Таким образом, итоговое разложение на множители:

$xy(x - y)(x^2 + xy + y^2)$.

Ответ: $xy(x - y)(x^2 + xy + y^2)$.

г) $5a^3 + 40b^3 = ...$

Вынесем общий числовой множитель $5$ за скобки.

$5a^3 + 40b^3 = 5(a^3 + 8b^3)$.

Выражение в скобках $a^3 + 8b^3$ является суммой кубов, так как $8b^3 = (2b)^3$.

Применим формулу суммы кубов $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$, где $A = a$ и $B = 2b$.

$a^3 + (2b)^3 = (a + 2b)(a^2 - a \cdot 2b + (2b)^2) = (a + 2b)(a^2 - 2ab + 4b^2)$.

Полное разложение на множители:

$5(a + 2b)(a^2 - 2ab + 4b^2)$.

Ответ: $5(a + 2b)(a^2 - 2ab + 4b^2)$.

д) $az^2 - 4azm + 4am^2 = ...$

Вынесем общий множитель $a$ за скобки.

$az^2 - 4azm + 4am^2 = a(z^2 - 4zm + 4m^2)$.

Выражение в скобках $z^2 - 4zm + 4m^2$ является полным квадратом разности, так как соответствует формуле $(A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.

В нашем случае $A = z$ и $B = 2m$. Проверим: $A^2 = z^2$, $B^2 = (2m)^2 = 4m^2$ и $2AB = 2 \cdot z \cdot 2m = 4zm$.

Следовательно, $z^2 - 4zm + 4m^2 = (z - 2m)^2$.

Итоговое разложение:

$a(z - 2m)^2$.

Ответ: $a(z - 2m)^2$.

е) $4x^3 + 8x^2yz + 4xy^2z^2 = ...$

Найдем наибольший общий делитель для всех членов. Общий числовой множитель - $4$. Общий множитель для переменных - $x$. Выносим $4x$ за скобки.

$4x^3 + 8x^2yz + 4xy^2z^2 = 4x(x^2 + 2xyz + y^2z^2)$.

Выражение в скобках $x^2 + 2xyz + y^2z^2$ является полным квадратом суммы, так как соответствует формуле $(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$.

В нашем случае $A = x$ и $B = yz$. Проверим: $A^2 = x^2$, $B^2 = (yz)^2 = y^2z^2$ и $2AB = 2 \cdot x \cdot yz = 2xyz$.

Следовательно, $x^2 + 2xyz + y^2z^2 = (x + yz)^2$.

Итоговое разложение:

$4x(x + yz)^2$.

Ответ: $4x(x + yz)^2$.