Страница 93 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Минаева, Рослова

213. Заполните пропуски.

а) $a^2b - ab^2 = \dots (a - b)$

б) $c^2 + c^4 = \dots (1 + c^2)$

в) $-abc - b^3 = \dots (ac + b^2)$

г) $8m^2 - 12mn = \dots (2m - 3n)$

д) $-3cb + 6b = \dots (c - 2)$

е) $-ab - bc + b^2 = \dots (a + c - b)$

а) Чтобы заполнить пропуск в выражении $a^2b - ab^2 = \dots(a - b)$, необходимо вынести общий множитель за скобки. Общим множителем для членов $a^2b$ и $ab^2$ является $ab$. Вынесем его за скобки:
$a^2b - ab^2 = ab \cdot a - ab \cdot b = ab(a - b)$.
Таким образом, пропущенный множитель — это $ab$.
Ответ: $a^2b - ab^2 = ab(a - b)$.

б) В выражении $c^2 + c^4 = \dots(1 + c^2)$ нужно вынести за скобки общий множитель. Для членов $c^2$ и $c^4$ общим множителем является $c$ в наименьшей степени, то есть $c^2$. Выполним вынесение:
$c^2 + c^4 = c^2 \cdot 1 + c^2 \cdot c^2 = c^2(1 + c^2)$.
Следовательно, на месте пропуска стоит $c^2$.
Ответ: $c^2 + c^4 = c^2(1 + c^2)$.

в) В выражении $-abc - b^3 = \dots(ac + b^2)$ необходимо найти пропущенный множитель. Заметим, что знаки у членов в скобках $(ac + b^2)$ противоположны знакам исходных членов $(-abc - b^3)$. Это означает, что за скобки был вынесен отрицательный множитель. Общим делителем для $abc$ и $b^3$ является $b$. Значит, выносим за скобки $-b$:
$-abc - b^3 = -b(ac) + (-b)(b^2) = -b(ac + b^2)$.
Пропущенный множитель — это $-b$.
Ответ: $-abc - b^3 = -b(ac + b^2)$.

г) В выражении $8m^2 - 12mn = \dots(2m - 3n)$ нужно найти множитель, который вынесли за скобки. Для этого найдем наибольший общий делитель (НОД) для членов $8m^2$ и $12mn$. НОД для коэффициентов 8 и 12 равен 4. Общая переменная с наименьшим показателем — $m$. Таким образом, общий множитель — $4m$. Выполним вынесение:
$8m^2 - 12mn = 4m(2m) - 4m(3n) = 4m(2m - 3n)$.
Пропущенный множитель — это $4m$.
Ответ: $8m^2 - 12mn = 4m(2m - 3n)$.

д) В выражении $-3cb + 6b = \dots(c - 2)$ нужно найти множитель, который вынесли за скобки. Чтобы из $-3cb$ получить $c$ в скобках, нужно вынести за скобки множитель $-3b$. Проверим это со вторым членом: $(-3b) \cdot (-2) = 6b$, что совпадает со вторым членом исходного выражения. Значит, множитель найден верно.
$-3cb + 6b = -3b(c - 2)$.
Пропущенный множитель — это $-3b$.
Ответ: $-3cb + 6b = -3b(c - 2)$.

е) В выражении $-ab - bc + b^2 = \dots(a + c - b)$ нужно найти пропущенный множитель. Сравним знаки членов: в исходном выражении $(-,-,+)$, а в скобках $(+,-)$. Это указывает на вынесение отрицательного множителя. Общая переменная для всех членов — $b$. Попробуем вынести за скобки $-b$:
$-ab - bc + b^2 = (-b) \cdot a + (-b) \cdot c + (-b) \cdot (-b) = -b(a + c - b)$.
Пропущенный множитель — это $-b$.
Ответ: $-ab - bc + b^2 = -b(a + c - b)$.

214. Восстановите запись.

a) .......................... = $a(5a - 1)$

б) .......................... = $bc(ab + ac)$

в) .......................... = $-3(x^2 - y^2)$

г) .......................... = $7a(3b - c + 7)$

д) .......................... = $-a^2(a + b - 1)$

е) .......................... = $-5xy(x - y + z)$

а) Чтобы восстановить запись, необходимо выполнить умножение одночлена $a$ на многочлен $(5a - 1)$. Для этого умножим $a$ на каждый член в скобках:
$a \cdot (5a - 1) = a \cdot 5a + a \cdot (-1) = 5a^2 - a$
Ответ: $5a^2 - a$

б) В данном случае нужно умножить одночлен $bc$ на многочлен $(ab + ac)$. Умножаем $bc$ последовательно на $ab$ и $ac$:
$bc \cdot (ab + ac) = bc \cdot ab + bc \cdot ac = ab^2c + abc^2$
Ответ: $ab^2c + abc^2$

в) Здесь необходимо умножить число $-3$ на выражение в скобках $(x^2 - y^2)$:
$-3 \cdot (x^2 - y^2) = -3 \cdot x^2 - 3 \cdot (-y^2) = -3x^2 + 3y^2$
Ответ: $-3x^2 + 3y^2$

г) Требуется умножить одночлен $7a$ на многочлен $(3b - c + 7)$. Умножаем $7a$ на каждый из трех членов в скобках:
$7a \cdot (3b - c + 7) = 7a \cdot 3b + 7a \cdot (-c) + 7a \cdot 7 = 21ab - 7ac + 49a$
Ответ: $21ab - 7ac + 49a$

д) Выполним умножение одночлена $-a^2$ на многочлен $(a + b - 1)$:
$-a^2 \cdot (a + b - 1) = -a^2 \cdot a + (-a^2) \cdot b + (-a^2) \cdot (-1) = -a^3 - a^2b + a^2$
Ответ: $-a^3 - a^2b + a^2$

е) Умножим одночлен $-5xy$ на многочлен $(x - y + z)$:
$-5xy \cdot (x - y + z) = -5xy \cdot x + (-5xy) \cdot (-y) + (-5xy) \cdot z = -5x^2y + 5xy^2 - 5xyz$
Ответ: $-5x^2y + 5xy^2 - 5xyz$

215. Вынесите за скобки общий множитель.

а) $12a - 24b$ = .................

б) $20x^2 - 8xy$ = .................

в) $c^2b^2 + b^4$ = .................

г) $9a^8b - 6a^4b^2$ = ................

д) $m^2 + m^3 - 5m^2n$ = .

е) $p^5q - p^4q^2 + p^3q^3$ = .

а) Для выражения $12a - 24b$ необходимо найти общий множитель. Сначала рассмотрим числовые коэффициенты 12 и 24. Наибольший общий делитель (НОД) для них равен 12, так как $24 = 12 \cdot 2$. Переменные $a$ и $b$ различны, поэтому у них нет общей части. Таким образом, общий множитель для всего выражения — это 12. Выносим его за скобки, разделив каждый член выражения на 12:

$12a - 24b = 12 \cdot a - 12 \cdot 2b = 12(a - 2b)$.

Ответ: $12(a - 2b)$.

б) В выражении $20x^2 - 8xy$ найдем НОД коэффициентов 20 и 8. НОД(20, 8) = 4. Затем рассмотрим переменные. Переменная $x$ входит в оба слагаемых ($x^2$ и $x$). Выносим за скобку $x$ в наименьшей степени, то есть $x^1$ или просто $x$. Переменная $y$ есть только во втором слагаемом, поэтому она не является общим множителем. Итого, общий множитель — $4x$.

$20x^2 - 8xy = 4x \cdot 5x - 4x \cdot 2y = 4x(5x - 2y)$.

Ответ: $4x(5x - 2y)$.

в) В выражении $c^2b^2 + b^4$ числовые коэффициенты равны 1. Рассмотрим переменные. Переменная $c$ есть только в первом слагаемом. Переменная $b$ есть в обоих слагаемых ($b^2$ и $b^4$). Выносим за скобки $b$ в наименьшей степени, то есть $b^2$. Это и есть общий множитель.

$c^2b^2 + b^4 = c^2 \cdot b^2 + b^2 \cdot b^2 = b^2(c^2 + b^2)$.

Ответ: $b^2(c^2 + b^2)$.

г) В выражении $9a^8b - 6a^4b^2$ НОД коэффициентов 9 и 6 равен 3. Переменная $a$ встречается в степенях 8 и 4; наименьшая степень — 4, поэтому выносим $a^4$. Переменная $b$ встречается в степенях 1 и 2; наименьшая степень — 1, выносим $b$. Общий множитель равен произведению этих частей: $3a^4b$.

$9a^8b - 6a^4b^2 = 3a^4b \cdot 3a^4 - 3a^4b \cdot 2b = 3a^4b(3a^4 - 2b)$.

Ответ: $3a^4b(3a^4 - 2b)$.

д) Выражение $m^2 + m^3 - 5m^2n$ состоит из трех слагаемых. НОД коэффициентов 1, 1 и -5 равен 1. Переменная $m$ присутствует во всех трех слагаемых в степенях 2, 3 и 2. Наименьшая степень — 2, поэтому выносим $m^2$. Переменная $n$ есть только в последнем слагаемом. Таким образом, общий множитель — это $m^2$.

$m^2 + m^3 - 5m^2n = m^2 \cdot 1 + m^2 \cdot m - m^2 \cdot 5n = m^2(1 + m - 5n)$.

Ответ: $m^2(1 + m - 5n)$.

е) В выражении $p^5q - p^4q^2 + p^3q^3$ НОД коэффициентов 1, -1 и 1 равен 1. Переменная $p$ входит в слагаемые в степенях 5, 4 и 3. Наименьшая степень — 3, выносим $p^3$. Переменная $q$ входит в слагаемые в степенях 1, 2 и 3. Наименьшая степень — 1, выносим $q$. Общий множитель равен $p^3q$.

$p^5q - p^4q^2 + p^3q^3 = p^3q \cdot p^2 - p^3q \cdot pq + p^3q \cdot q^2 = p^3q(p^2 - pq + q^2)$.

Ответ: $p^3q(p^2 - pq + q^2)$.