Номер 215, страница 93 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Минаева, Рослова

8. Разложение многочленов на множители - номер 215, страница 93.

Условие.

215. Вынесите за скобки общий множитель.

а) $12a - 24b$ = .................

б) $20x^2 - 8xy$ = .................

в) $c^2b^2 + b^4$ = .................

г) $9a^8b - 6a^4b^2$ = ................

д) $m^2 + m^3 - 5m^2n$ = .

е) $p^5q - p^4q^2 + p^3q^3$ = .

Решение.

Решение 2.

а) Для выражения $12a - 24b$ необходимо найти общий множитель. Сначала рассмотрим числовые коэффициенты 12 и 24. Наибольший общий делитель (НОД) для них равен 12, так как $24 = 12 \cdot 2$. Переменные $a$ и $b$ различны, поэтому у них нет общей части. Таким образом, общий множитель для всего выражения — это 12. Выносим его за скобки, разделив каждый член выражения на 12:

$12a - 24b = 12 \cdot a - 12 \cdot 2b = 12(a - 2b)$.

Ответ: $12(a - 2b)$.

б) В выражении $20x^2 - 8xy$ найдем НОД коэффициентов 20 и 8. НОД(20, 8) = 4. Затем рассмотрим переменные. Переменная $x$ входит в оба слагаемых ($x^2$ и $x$). Выносим за скобку $x$ в наименьшей степени, то есть $x^1$ или просто $x$. Переменная $y$ есть только во втором слагаемом, поэтому она не является общим множителем. Итого, общий множитель — $4x$.

$20x^2 - 8xy = 4x \cdot 5x - 4x \cdot 2y = 4x(5x - 2y)$.

Ответ: $4x(5x - 2y)$.

в) В выражении $c^2b^2 + b^4$ числовые коэффициенты равны 1. Рассмотрим переменные. Переменная $c$ есть только в первом слагаемом. Переменная $b$ есть в обоих слагаемых ($b^2$ и $b^4$). Выносим за скобки $b$ в наименьшей степени, то есть $b^2$. Это и есть общий множитель.

$c^2b^2 + b^4 = c^2 \cdot b^2 + b^2 \cdot b^2 = b^2(c^2 + b^2)$.

Ответ: $b^2(c^2 + b^2)$.

г) В выражении $9a^8b - 6a^4b^2$ НОД коэффициентов 9 и 6 равен 3. Переменная $a$ встречается в степенях 8 и 4; наименьшая степень — 4, поэтому выносим $a^4$. Переменная $b$ встречается в степенях 1 и 2; наименьшая степень — 1, выносим $b$. Общий множитель равен произведению этих частей: $3a^4b$.

$9a^8b - 6a^4b^2 = 3a^4b \cdot 3a^4 - 3a^4b \cdot 2b = 3a^4b(3a^4 - 2b)$.

Ответ: $3a^4b(3a^4 - 2b)$.

д) Выражение $m^2 + m^3 - 5m^2n$ состоит из трех слагаемых. НОД коэффициентов 1, 1 и -5 равен 1. Переменная $m$ присутствует во всех трех слагаемых в степенях 2, 3 и 2. Наименьшая степень — 2, поэтому выносим $m^2$. Переменная $n$ есть только в последнем слагаемом. Таким образом, общий множитель — это $m^2$.

$m^2 + m^3 - 5m^2n = m^2 \cdot 1 + m^2 \cdot m - m^2 \cdot 5n = m^2(1 + m - 5n)$.

Ответ: $m^2(1 + m - 5n)$.

е) В выражении $p^5q - p^4q^2 + p^3q^3$ НОД коэффициентов 1, -1 и 1 равен 1. Переменная $p$ входит в слагаемые в степенях 5, 4 и 3. Наименьшая степень — 3, выносим $p^3$. Переменная $q$ входит в слагаемые в степенях 1, 2 и 3. Наименьшая степень — 1, выносим $q$. Общий множитель равен $p^3q$.

$p^5q - p^4q^2 + p^3q^3 = p^3q \cdot p^2 - p^3q \cdot pq + p^3q \cdot q^2 = p^3q(p^2 - pq + q^2)$.

Ответ: $p^3q(p^2 - pq + q^2)$.