Страница 88 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Минаева, Рослова

199. Проверьте, что трехчлены, равные квадрату данных двучленов, содержат один и тот же одночлен.

$ (3a + b)^2 = \ldots $

$ (a + 3b)^2 = \ldots $

$ (-a - 3b)^2 = \ldots $

$ \left(\frac{1}{2}a + 6b\right)^2 = \ldots $

Для проверки утверждения раскроем скобки в каждом выражении, возведя двучлен в квадрат по формуле квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

(3a + b)²

Применяем формулу квадрата суммы, где $x = 3a$ и $y = b$:

$(3a + b)^2 = (3a)^2 + 2 \cdot (3a) \cdot b + b^2 = 9a^2 + 6ab + b^2$

Ответ: $9a^2 + 6ab + b^2$.

(a + 3b)²

Здесь $x = a$ и $y = 3b$:

$(a + 3b)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot (3b) + (3b)^2 = a^2 + 6ab + 9b^2$

Ответ: $a^2 + 6ab + 9b^2$.

(-a - 3b)²

Можно вынести за скобки -1 и возвести в квадрат, или применить формулу напрямую с $x = -a$ и $y = -3b$:

$(-a - 3b)^2 = (-a)^2 + 2 \cdot (-a) \cdot (-3b) + (-3b)^2 = a^2 + 6ab + 9b^2$

Ответ: $a^2 + 6ab + 9b^2$.

(½a + 6b)²

В этом случае $x = \frac{1}{2}a$ и $y = 6b$:

$(\frac{1}{2}a + 6b)^2 = (\frac{1}{2}a)^2 + 2 \cdot (\frac{1}{2}a) \cdot (6b) + (6b)^2 = \frac{1}{4}a^2 + 6ab + 36b^2$

Ответ: $\frac{1}{4}a^2 + 6ab + 36b^2$.

Теперь сравним все полученные трехчлены:

• $9a^2 + 6ab + b^2$
• $a^2 + 6ab + 9b^2$
• $a^2 + 6ab + 9b^2$
• $\frac{1}{4}a^2 + 6ab + 36b^2$

Как видно из результатов, каждый из четырех трехчленов содержит один и тот же член (одночлен), а именно $6ab$. Таким образом, утверждение задачи является верным.

Ответ: Общим одночленом для всех трехчленов является $6ab$.

200. a) $(2y + 5)^2 = .$

б) $(3a + 2b)^2 = $

в) $(ab - 7)^2 = .$

г) $(5x - 4c)^2 = $

а) Для раскрытия скобок в выражении $(2y + 5)^2$ используется формула сокращенного умножения "квадрат суммы": $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. В данном случае, $a = 2y$ и $b = 5$.

Подставим значения в формулу:

$(2y + 5)^2 = (2y)^2 + 2 \cdot (2y) \cdot 5 + 5^2 = 4y^2 + 20y + 25$.

Ответ: $4y^2 + 20y + 25$.

б) Для выражения $(3a + 2b)^2$ также применяется формула "квадрат суммы": $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Здесь $a = 3a$ и $b = 2b$.

Подставляем в формулу:

$(3a + 2b)^2 = (3a)^2 + 2 \cdot (3a) \cdot (2b) + (2b)^2 = 9a^2 + 12ab + 4b^2$.

Ответ: $9a^2 + 12ab + 4b^2$.

в) Для раскрытия скобок в выражении $(ab - 7)^2$ используется формула сокращенного умножения "квадрат разности": $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В этом примере $a = ab$ и $b = 7$.

Подставляем значения в формулу:

$(ab - 7)^2 = (ab)^2 - 2 \cdot (ab) \cdot 7 + 7^2 = a^2b^2 - 14ab + 49$.

Ответ: $a^2b^2 - 14ab + 49$.

г) Для выражения $(5x - 4c)^2$ снова используем формулу "квадрат разности": $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Здесь $a = 5x$ и $b = 4c$.

Подставляем в формулу:

$(5x - 4c)^2 = (5x)^2 - 2 \cdot (5x) \cdot (4c) + (4c)^2 = 25x^2 - 40xc + 16c^2$.

Ответ: $25x^2 - 40xc + 16c^2$.

201. a) $ \left( \frac{m}{n} - 1 \right)^2 = $

б) $ \left( x + \frac{1}{x} \right)^2 = $

в) $ \left( 1 - \frac{1}{y} \right)^2 = $

г) $ \left( \frac{n}{2} - 1 \right)^2 = $

а) Для раскрытия скобок воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В данном выражении $a = \frac{m}{n}$ и $b = 1$.
Подставим эти значения в формулу:
$(\frac{m}{n} - 1)^2 = (\frac{m}{n})^2 - 2 \cdot \frac{m}{n} \cdot 1 + 1^2 = \frac{m^2}{n^2} - \frac{2m}{n} + 1$.
Ответ: $\frac{m^2}{n^2} - \frac{2m}{n} + 1$

б) Для раскрытия скобок воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. В данном выражении $a = x$ и $b = \frac{1}{x}$.
Подставим эти значения в формулу:
$(x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + (\frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$.
Ответ: $x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$

в) Для раскрытия скобок воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В данном выражении $a = 1$ и $b = \frac{1}{y}$.
Подставим эти значения в формулу:
$(1 - \frac{1}{y})^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{y} + (\frac{1}{y})^2 = 1 - \frac{2}{y} + \frac{1}{y^2}$.
Ответ: $1 - \frac{2}{y} + \frac{1}{y^2}$

г) Для раскрытия скобок воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В данном выражении $a = \frac{n}{2}$ и $b = 1$.
Подставим эти значения в формулу:
$(\frac{n}{2} - 1)^2 = (\frac{n}{2})^2 - 2 \cdot \frac{n}{2} \cdot 1 + 1^2 = \frac{n^2}{4} - n + 1$.
Ответ: $\frac{n^2}{4} - n + 1$

202. Заполните пропуски.

а) $(a + \ldots)^2 = \ldots + \ldots + b^2$

б) $(2y + \ldots)^2 = \ldots + 4y + \ldots$

в) $(\ldots - \ldots)^2 = p^2 - \ldots + 4q^2$

г) $(\ldots - \ldots)^2 = 4x^2 - 12xy + \ldots$

Для решения этих задач используются формулы сокращенного умножения: квадрат суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$ и квадрат разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

а) В выражении $(a + ......)^2 = ...... + ...... + b^2$ мы имеем дело с формулой квадрата суммы.
Первое слагаемое в скобках, которое мы обозначим как $x$, равно $a$.
Последний член в разложенном выражении, $b^2$, соответствует $y^2$ в формуле. Отсюда следует, что второе слагаемое в скобках, $y$, равно $b$.
Теперь заполним остальные пропуски:
1. Первый пропуск в правой части — это квадрат первого слагаемого: $x^2 = a^2$.
2. Второй пропуск в правой части — это удвоенное произведение первого и второго слагаемых: $2xy = 2 \cdot a \cdot b = 2ab$.
Таким образом, полностью заполненное равенство имеет вид: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Ответ: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

б) В выражении $(2y + ......)^2 = ...... + 4y + ......$ также используется формула квадрата суммы.
Первое слагаемое в скобках, $x$, равно $2y$.
Средний член в правой части, $4y$, соответствует удвоенному произведению $2xy$. Зная $x=2y$, мы можем найти второе слагаемое, которое обозначим как $y_{term}$:
$2 \cdot (2y) \cdot y_{term} = 4y$
$4y \cdot y_{term} = 4y$
Разделив обе части на $4y$ (при условии, что $y \neq 0$), получаем, что второе слагаемое $y_{term}=1$.
Теперь заполним пропуски в правой части:
1. Первый пропуск — это квадрат первого слагаемого: $x^2 = (2y)^2 = 4y^2$.
2. Последний пропуск — это квадрат второго слагаемого: $(y_{term})^2 = 1^2 = 1$.
Полное равенство: $(2y + 1)^2 = 4y^2 + 4y + 1$.
Ответ: $(2y + 1)^2 = 4y^2 + 4y + 1$.

в) Выражение $(...... - ......)^2 = p^2 - ...... + 4q^2$ соответствует формуле квадрата разности: $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Первый член в правой части, $p^2$, это $x^2$. Значит, первое слагаемое в скобках $x=p$.
Последний член в правой части, $4q^2$, это $y^2$. Значит, второе слагаемое в скобках $y = \sqrt{4q^2} = 2q$.
Теперь заполним оставшиеся пропуски:
1. Первое слагаемое в скобках — $p$.
2. Второе слагаемое в скобках — $2q$.
3. Пропуск в правой части — это удвоенное произведение $2xy = 2 \cdot p \cdot (2q) = 4pq$.
Полное равенство: $(p - 2q)^2 = p^2 - 4pq + 4q^2$.
Ответ: $(p - 2q)^2 = p^2 - 4pq + 4q^2$.

г) В выражении $(...... - ......)^2 = 4x^2 - 12xy + ......$ применяется формула квадрата разности.
Первый член в правой части, $4x^2$, это квадрат первого слагаемого в скобках. Обозначим его $X$. Тогда $X^2 = 4x^2$, откуда $X=2x$.
Средний член, $-12xy$, это удвоенное произведение слагаемых со знаком минус: $-2XY$. Подставим известное $X=2x$:
$-2 \cdot (2x) \cdot Y = -12xy$
$-4x \cdot Y = -12xy$
Разделив обе части на $-4x$ (при $x \neq 0$), находим второе слагаемое $Y = 3y$.
Теперь заполним пропуски:
1. Первое слагаемое в скобках — $2x$.
2. Второе слагаемое в скобках — $3y$.
3. Последний член в правой части — это квадрат второго слагаемого: $Y^2 = (3y)^2 = 9y^2$.
Полное равенство: $(2x - 3y)^2 = 4x^2 - 12xy + 9y^2$.
Ответ: $(2x - 3y)^2 = 4x^2 - 12xy + 9y^2$.